Universität zu Köln

Weber, Janine ORCID: 0000-0002-6692-2230 (2022). Efficient and robust FETI-DP and BDDC methods -- Approximate coarse spaces and deep learning-based adaptive coarse spaces. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Domain decomposition methods (DDMs) are robust and parallel scalable, preconditioned iterative algorithms for the solution of large linear systems of equations arising in the discretization of elliptic partial differential equations (PDEs) by finite elements. DDMs rely on the subdivision of the computational domain into a number of smaller nonoverlapping or overlapping subdomains for which the local solutions can be computed completely in parallel on different cores of a parallel computer. In two-level DDMs, an additional coarse problem is solved in each iteration of the iterative solution process, to ensure a global transport of information between the different subdomains. The FETI-DP and BDDC methods are highly scalable nonoverlapping DDMs which obtain their scalability and robustness from the definition of an appropriate coarse space. However, in a parallel implementation, the exact solution of the corresponding coarse problem can eventually become a scaling bottleneck. Thus, we are interested in efficient coarse spaces which are preferably small and can be computed with low computational effort. One common approach to design more efficient coarse spaces is to replace the exact solution of the coarse problem by an approximate solution. Classic coarse spaces which exclusively use geometric information of the domain decomposition, usually experience a deteriorating convergence rate for second-order elliptic PDEs with large coefficient contrasts. In this case, robust, i.e., adaptive coarse spaces are necessary which enhance the coarse space with specific, problem-dependent constraints usually resulting from the solution of certain local eigenvalue problems. We introduce and compare different efficient and robust FETI-DP and BDDC coarse spaces for two- and three-dimensional model problems. First, we present three approximate BDDC coarse spaces which are implemented in the same parallel software framework. Furthermore, we introduce a heuristic coarse space for both FETI-DP and BDDC which can be interpreted as a generalization of classic coarse spaces as well as a low-dimensional approximation of a specific adaptive coarse space. We will observe that this heuristic coarse space shows robust results for different real-world problems. Finally, we introduce a hybrid approach which exclusively implements adaptive constraints on certain equivalence classes of the domain decomposition which are classified as critical by a neural network in a preprocessing step. We show numerical results for both, two- and three-dimensional test problems. We can observe very promising results where a large number of the eigenvalue problems can be avoided to be computed while at the same time obtaining a robust convergence behavior.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Gebietszerlegungsverfahren sind robuste und parallel skalierbare, vorkonditionierte iterative Algorithmen für die Lösung großer linearer Gleichungssysteme, die aus der Diskretisierung von elliptischen partiellen Differentialgleichungen (PDGLen) mittels Finiter Elemente entstehen. Gebietszerlegungsverfahren basieren auf der Idee, ein Gebiet in eine feste Anzahl an kleineren, nicht überlappenden oder überlappenden Teilgebieten zu unterteilen, für die die lokalen Lösungen komplett parallel auf verschiedenen Kernen eines parallelen Computers berechnet werden können. In Zwei-Level Gebietszerlegungsverfahren wird zusätzlich in jeder Iteration des iterativen Lösungsprozesses auch immer ein globales, grobes Problem gelöst, welches den globalen Informationsaustausch zwischen den einzelnen Teilgebieten sicherstellt. Die FETI-DP und BDDC Methoden sind hoch skalierbare, nicht überlappende Gebietszerlegungsverfahren, die ihre Skalierbarkeit und Robustheit durch die Definition eines geeigneten Grobgitterraumes erhalten. Allerdings kann die exakte Lösung des zugehörigen groben Problems in einer parallelen Implementierung zu einer Art Flaschenhals werden. Daher sind wir an effizienten Grobgitterräumen interessiert, die möglichst klein sind und mit geringem Rechenaufwand berechnet werden können. Ein gebräuchlicher Ansatz, um effizientere Grobgitterräume zu konstruieren, ist es, die exakte Lösung des groben Problems durch eine approximative Lösung zu ersetzen. Klassische Grobgitterräume, die lediglich geometrische Informationen der Gebietszerlegung nutzen, zeigen in der Regel für elliptische PDGL zweiter Ordnung mit Koeffizientenverteilungen mit hohen Kontrasten häufig eine verschlechterte Konvergenzrate. In diesem Fall sind robuste, d.h. adaptive Grobgitterräume notwendig, welche den Grobgitterraum mit speziellen, problemabhängigen Bedingungen aus der Lösung von bestimmten lokalen Eigenwertproblemen verbessern. Wir führen verschiedene effiziente und robuste FETI-DP und BDDC Grobgitterräume für zwei- und dreidimensionale Modellprobleme ein und vergleichen diese miteinander. Zuerst präsentieren wir drei approximative, d.h. effiziente BDDC Grobgitterräume, die in derselben parallelen Software implementiert sind. Anschließend führen wir einen heuristischen Grobgitterraum für FETI-DP und BDDC ein, der als eine Verallgemeinerung von klassischen Grobgitterräumen sowie als eine niedrig-dimensionale Approximation eines speziellen adaptiven Grobgitterraumes interpretiert werden kann. Wir werden sehen, dass dieser heuristische Grobgitterraum für verschiedene realistische Probleme robuste Ergebnisse liefert. Schließlich werden wir einen hybriden Ansatz vorstellen, der nur auf ausgewählten Äquivalenzklassen der Gebietszerlegung adaptive Bedingungen implementiert, die in einem vorherigen Schritt durch ein neuronales Netz als notwendig klassifiziert wurden. Wir zeigen numerische Ergebnisse sowohl für zwei- als auch für dreidimensionale Testprobleme. Wir können sehr vielversprechende Ergebnisse beobachten, bei denen wir eine große Anzahl an Eigenwertproblemen einsparen können, während wir gleichzeitig ein robustes Konvergenzverhalten erhalten. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Weber, Janine janine.weber@uni-koeln.de orcid.org/0000-0002-6692-2230 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-551799
Date:	2022
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Adaptive domain decomposition methods; FETI-DP; BDDC; finite elements; elliptic partial differential equations; robust coarse spaces; machine learning; deep learning; hybrid modeling; scientific machine learning; approximate coarse spaces; HPC; high performance computing; parallel computing; three-level BDDC English Adaptive Gebietszerlegungsverfahren; FETI-DP; BDDC; Finite Elemente; elliptische partielle Differentialgleichungen; robuste Grobgitterräume; maschinelles Lernen; Neuronale Netze; hybride Modellierung; wissenschaftliches maschinelles Lernen; approximative Grobgitterräume; Hochleistungsrechnen; paralleles Rechnen; drei-level BDDC German
Date of oral exam:	17 January 2022
Referee:	Name Academic Title Klawonn, Axel Prof. Dr. Rheinbach, Oliver Prof. Dr. Pavarino, Luca F. Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/55179