Schumann, Beatrix Caroline (2014). Homological description of crystal structures on quiver varieties. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Using methods of homological algebra, we obtain an explicit crystal isomorphism between two realizations of crystal bases of the lower part of the quantized enveloping algebra and the irreducible highest weight representations of (almost all) simply-laced Lie algebras, respectively. The first realization we consider is a geometric construction in terms of irreducible components of certain quiver varieties established by Kashiwara and Saito. The second is a realization in terms of isomorphism classes of quiver representations obtained by Reineke using Ringel's Hall algebra approach to quantum groups. We connect the two constructions by studying certain sufficiently generic representations of the preprojective algebra. We further show that, in the type $A$ situation, the crystal isomorphism can be described on the combinatorial level via semistandard Young tableaux.

Item Type: Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:
AbstractLanguage
Mittels Methoden der homologischen Algebra konstruieren wir einen expliziten Kristallisomorphism zwischen zwei Realisierungen der kristallinen Basen des negativen Teiles der Quantengruppe beziehungsweise der irreduziblen Höchstgewichtsdarstellungen von (fast allen) einfach verbundenen Lie Algebren. Die erste Realisierung, die wir betrachten, ist eine geometrische Konstruktion von Kashiwara und Saito mittels irreduzibler Komponenten bestimmter Köchervarietäten. Die zweite ist eine Realisierung mittels Isomorphieklassen von Köcherdarstellungen, entwickelt von Reineke unter Benutzung von Ringels Hall-Algebren-Ansatz. Den Zusammenhang der beiden Konstruktionen zeigen wir durch die Untersuchung hinreichend generischer Darstellungen der präprojektiven Algebra. Mit Hilfe der Beschreibung der kristallinen Basen durch semistandard Young Tableaux zeigen wir weiterhin, dass für Lie Algebren von Typ $A$ der Kristallisomorphismus mit rein kombinatorischen Mitteln beschrieben werden kann.German
Creators:
CreatorsEmailORCID
Schumann, Beatrix Carolinebschuman@math.uni-koeln,deUNSPECIFIED
URN: urn:nbn:de:hbz:38-61395
Subjects: Mathematics
Uncontrolled Keywords:
KeywordsLanguage
represetation theoryEnglish
preprojective algebraEnglish
crystal basisEnglish
Faculty: Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions: Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Mathematical Institute
Language: English
Date: 18 August 2014
Date of oral exam: 7 October 2014
Referee:
NameAcademic Title
Littelmann, PeterProf. Dr.
Burban, IgorProf. Dr.
Refereed: Yes
URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6139

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