Universität zu Köln

Zielinski, Dominik ORCID: 0009-0006-9745-419X (2024). Zeros of Random Holomorphic Sections of Semipositive Line Bundles on Punctured Riemann Surfaces. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

With early works dating back to the 1930’s until today, here is a growing interest in the theory of asymptotic distributions of expected zeros of random polynomials when their degree grows indefinitely. A natural geometric generalization of random polynomials are random sections of a holomorphic line bundle over a complex manifold. In 1999, Shiffman and Zelditch proved that on a compact K¨ahler manifold, the zeros of sections of high tensor powers of a holomorphic line bundle asymptotically equidistribute with respect to the normalized curvature of the line bundle. Their result has numerous applications in mathematical physics and was generalized in many different directions. In this thesis we generalize their result to a semipositively curved holomorphic line bundle over a punctured Riemann surface. To achieve this, we discuss many tools that have proven themselves to represent an appropriate framework to study statistical properties of ensembles of zeros on complex manifolds. We start by proving the existence of spectral gap for the Kodaira Laplacian that is associated to the line bundle. We use this result, together with the technique of analytic localization by Ma and Marinescu, to prove a pointwise global on-diagonal asymptotic expansion of the associated Bergman kernel in our setting. Moreover, we show locally uniform estimates on the Bergman kernel and its derivatives. We use these estimates to prove the locally uniform convergence of the induced Fubini-Study metrics and their potentials to the global curvature and its potential, respectively. We conclude by showing that the expected zeros of holomorphic sections equidistribute with respect to the normalized curvature of the line bundle. Moreover, we apply the theory of meromorphic transforms by Dinh and Sibony estimate the speed of convergence in our equidistribution result.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Nullstellen zufälliger holomorpher Schnitte von semipositiven Geradenbündeln auf punktierten Riemannschen Flächen German
Translated abstract:	Abstract Language Von frühen Arbeiten aus den 1930er Jahren an bis heute besteht ein wachsendes Interesse an der Theorie der asymptotischen Verteilungen der erwarteten Nullstellen von zufälligen Polynomen, wenn ihr Grad unendlich wächst. Eine natürliche geometrische Verallgemeinerung von zufälligen Polynomen sind zufällige Schnitte holomorpher Geradenbündel über einer komplexen Mannigfaltigkeit. Im Jahr 1999 bewiesen Shiffman und Zelditch, dass auf einer kompakten Kähler- Mannigfaltigkeit die Nullstellen von Schnitten hoher Tensorpotenzen eines holomorphen Geradenbündels asymptotisch gleichverteilt bezüglich der normalisierten Krümmung des Bündels sind. Ihr Ergebnis hat zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik und wurde seitdem in viele verschiedene Richtungen verallgemeinert. In dieser Arbeit verallgemeinern wir ihr Ergebnis auf ein semipositiv gekrümmtes holomorphes Geradenbündel über einer punktierten Riemannschen Fläche. Dafür untersuchen wir Instrumente, deren Betrachtung sich als geeigneter Rahmen für die Untersuchung statistischer Eigenschaften von Nullstellenmengen auf komplexen Mannigfaltigkeiten erwiesen haben. Zunächst zeigen wir die Existenz einer Spektral-Lücke für den zum Bündel gehörigen Kodaira-Laplace-Operator. Dieses Ergebnis wenden wir zusammen mit der Technik der analytischen Lokalisierung von Ma und Marinescu an, um eine punktweise globale asymptotische Entwicklung des zugehörigen Bergman-Kerns zu folgern. Zusätzlich zeigen wir lokal gleichmäßige Schranken für den Bergman-Kern und seine Ableitungen. Diese benutzen wir, um die lokal gleichmäßige Konvergenz der durch die zugehörige Kodaira-Abbildung induzierten Fubini-Study-Metriken und ihrer Potentiale zu der globalen Krümmung, beziehungsweise ihrem Potential nachzuweisen. Abschließend zeigen wir, dass die erwarteten Nullstellen der holomorphen Schnitte bezüglich der normalisierten Krümmung der Geradenbündels gleichverteilt sind. Außerdem wenden wir die Theorie der meromorphen Transformationen von Dinh und Sibony an, um die Konvergenzgeschwindigkeit unseres Gleichverteilungsergebnisses abzuschätzen. UNSPECIFIED
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Zielinski, Dominik dzielinski.math@posteo.de orcid.org/0009-0006-9745-419X UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-720485
Date:	2024
Place of Publication:	Köln
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Random Kähler Geometry; Stochastic Kähler Geometry; Random Complex Geometry; Stochastic Complex Geometry; Complex Geometry; Complex Analysis; Probability Theory on Manifolds; Probability Theory; Global Analysis; Analysis on Manifolds; Analysis; Manifolds; Manifold; Riemann Surface; Equidistribution; Equidistribution of zeros; Equidistribution of random zeros; random zeros; random holomorphic sections; holomorphic sections; line bundle; line bundles; holomorphic line bundle; holomorphic line bundles; singular; singular Hermitian; singular Hermitian line bundle; singular Hermitian line bundles; punctured; punctured Riemann surface; compact Riemann Surface; compact English Dinh; Dinh Tien-Cuong; Sibony; Nessim Sibony; Marinescu; George Marinescu; Savale; Nikhil Savale; Auvray; Hugues Auvray; Ma; Xiaonan Ma; Liu; Bingxiao Liu; Drewitz; Alexander Drewitz; Zielinski; Dominik Zielinski; Dominik Walter Zielinski; Zelditch, Steven Zelditch; Shiffman; Bernard Shiffman; Schmidt; Viktoria Schmidt UNSPECIFIED Zufällige Kähler Geometrie; Stochastische Kähler Geometrie; Zufällige Komplexe Geometrie; Stochastische Komplexe Geometrie; Komplexe Geometrie; Komplexe Analysis; Globale Analysis; Analysis auf Mannigfaltigkeiten; Analysis; Mannigfaltigkeiten; Mannigfaltigkeit; Wahrscheinlichkeitstheorie; Wahrscheinlichkeitstheorie auf Mannigfaltigkeiten; Riemannsche Fläche; Gleichverteilung; Uniforme Verteilung; uniform; Gleichverteilung von Nullstellen; Gleichverteilung von zufälligen Nullstellen; zufällige Nullstellen; zufällige holomorphe Schnitte; holomorphe Schnitte; Geradenbündel; Geraddenbündel; holomorphe Geradenbündel; singulär; singuläre; singuläre Hermitesche Metrik; singuläres Hermitesches Geradenbündel; punktiert; punktierte; punktierte Riemannsche Fläche; kompakt; kompakte; kompakte Riemannsche Fläche German
Date of oral exam:	8 January 2024
Referee:	Name Academic Title Marinescu, George Prof. Dr. Vu, Duc Viet Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/72048