Universität zu Köln

Weller, Anna ORCID: 0000-0002-7674-9590 (2024). Numerical Methods for Parabolic Partial Differential Equations on Metric Graphs. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The major motivation for this work arose from the problem of simulating diffusion type processes in the human brain network. This thesis addresses numerical methods for parabolic partial differential equations (PDEs) on network structures interpreted as metric spaces (metric graphs). Such domains frequently occur in the context of quantum graphs, where they are studied together with a differential operator and coupling conditions at the vertices of the metric graph. Quantum graphs are popular models for thin, branched structures, and there is a great interest in their studies also from the theoretical point of view. The present work aims to bridge the gap between the theoretical work and the practical usage of quantum graph models by studying arising numerical problems. The main focus is on initial boundary value problems governed by (semilinear) parabolic partial differential equations that involve a second order spatial derivative posed on the edges of the graph. The particularity of these problems are the coupling conditions of the PDEs on their common vertices. The two central methods studied in this thesis are a Galerkin discretization with linear finite elements and a spectral Galerkin discretization with basis functions obtained from an eigenvalue problem on the metric graph. Both approaches follow the method of lines, i.e., Galerkin’s method is applied for the spatial discretization resulting in a system of ordinary differential equations. Spectral accuracy can be obtained with the spectral discretization in space for sufficiently smooth functions that fulfill certain coupling conditions at the vertices. In the finite element approach, the semidiscretization is solved with classical implicit-explicit time stepping methods combined with a graph specific multigrid solver for the arising systems of linear equations in each time step. In the spectral method, the stiffness matrix is diagonal such that exponential integrators can be applied efficiently to solve the semidiscretized system. The difficulty of the spectral method, by contrast, is the computation of an eigenfunction basis. The computation of quantum graph spectra thus is the last important aspect of this work. The problem of computing eigenfunctions can be reduced to a nonlinear eigenvalue problem (NEP). In the particular case of equilateral graphs, the NEP even simplifies to a linear eigenvalue problem in the size of the number of vertices of the underlying graph. The proposed NEP solver applies equilateral approximations combined with a nested iteration approach to obtain initial guesses for a Newton-trace iteration. Human connectomes interpreted as metric graphs are consulted to test the applicability of the methods to real world, large scale problems. Experiments on simulating distribution of tau proteins in the brain of Alzheimer’s disease patients complete this work.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Numerische Methoden für parabolische partielle Differentialgleichungen auf metrischen Graphen German
Translated abstract:	Abstract Language Die Motivation für diese Arbeit entstand aus dem Problem, Diffusionsprozesse auf dem menschlichen Gehirnnetzwerk zu simulieren. Es werden daher numerische Methoden für parabolische partielle Differentialgleichungen (PDEs) auf metrischen Graphen behandelt. Solche Gebiete treten im Kontext von Quantum-Graphen auf und werden zusammen mit einem Differentialoperator und Kopplungsbedingungen an den Knoten des Graphen studiert. Quantum-Graphen als Modelle von dünnen, verzweigten Strukturen stellen ein beliebtes Forschungsgebiet dar. Die vorliegende Arbeit soll dazu beitragen, die Lücke zwischen den theoretischen Arbeiten und der praktischer Anwendung von Quantum-Graph Modellen zu schließen, indem auftretende numerische Probleme behandelt werden. Das Augenmerk liegt dabei auf Anfangsrandwertproblemen, die durch eine (semilineare) parabolische PDE mit einem Differentialoperator zweiter Ordnung im Ort auf den Kanten des Graphen beschrieben werden. Die Besonderheit dieser Probleme liegt in den Kopplungsbedingungen der PDEs an den gemeinsamen Knoten der Kanten. Als zentrale Methoden werden eine Galerkin Diskretisierung mit linearen Finiten Elementen und eine spektrale Galerkin Diskretisierung, bei der die Basisfunktionen aus einem Eigenwertproblem auf dem metrischen Graphen gewonnen werden, vorgestellt. Beide Ansätze verfolgen die Linienmethode: über eine Galerkin Diskretiserung im Ort erhält man ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Spektrale Genauigkeit der Ortsdiskretisierung kann im Fall der spektralen Diskretisierung für genügend glatte Funktionen, deren Ableitungen gewisse Randbedingungen erfüllen, erzielt werden. Im Finite-Elemente-Ansatz wird das semidiskretisierte System mit implizit-expliziten Zeitschrittverfahren gelöst. Die auftretenden Gleichungssysteme werden mit einem Graphspezifischen Mehrgitter Verfahren gelöst. Bei der spektralen Methode werden Exponentielle Integratoren genutzt, da die Steifigkeitsmatrix diagonal ist. Die Schwierigkeit liegt stattdessen in der Berechnung einer Basis aus Eigenfunktionen. Die Berechnung von Quantum Graph Spektren ist daher der letzte wichtige Aspekt dieser Arbeit. Das Problem kann auf ein nichtlineares Eigenwertproblem (NEP) reduziert werden. Im Spezialfall von equilateralen Graphen vereinfacht sich das NEP sogar zu einem linearen Eigenwertproblem in der Größe der Anzahl der Knoten des Graphen. Der vorgestellte NEP-Löser benutzt equilaterale Approximationen zusammen mit dem Ansatz der geschachtelten Iterationen, um geeignete Startwerte für eine Newton-trace Iteration zu finden. Die Anwendbarkeit der vorgestellten Methoden auf Echtdaten wird anhand von menschlichen Gehirnnetzwerken untersucht. Erste Experimente zur Simulation der Ausbreitung von Tau-Proteinen im Gehirn von Alzheimer-Patienten runden diese Arbeit ab. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Weller, Anna anna.weller@uni-koeln.de orcid.org/0000-0002-7674-9590 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-731822
Date:	2024
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Partial Differential Equations UNSPECIFIED Metric Graphs UNSPECIFIED Numerics UNSPECIFIED
Date of oral exam:	27 February 2024
Referee:	Name Academic Title Kunoth, Angela Prof. Dr. Benzi, Michele Prof. Dr. Canuto, Claudio Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/73182