Universität zu Köln

Swiech, Artur T. (2017). Free probability approach to microscopic statistics of random matrix eigenvalues. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

We consider general ensembles of N x N random matrices in the limit of large matrix size (N going to infinity). Our goal is to establish a new approach for studying local eigenvalue statistics, allowing one to push boundaries of known universality classes without strong assumptions on the probability measure of matrix ensembles in question. The problem of computing many-point correlation functions is approached by means of a supersymmetric generalization of Laplace transform. The large N limit of said transform for partition functions is in many cases governed by the R-transform known from free probability theory. We prove the existence and uniqueness of supersymmetric Laplace transform and its inverse in interesting cases of ratios of products of determinants. Our starting point is the appropriately regularized Fourier transform over the space of Hermitian matrices. A detailed derivation is given in the case of unitary symmetry, while formulas for real symmetric and quaternion self-dual matrices follow from the analytic structure of Harish-Chandra-Itzyskon-Zuber integral over orthogonal and symplectic groups respectively. The region of applicability of our method is derived in a simple form without putting any assumptions on the form of the probability density, therefore developed formalism covers both standard cases of Wigner and invariant random matrix ensembles. We derive infinite N applicability conditions in a way that allows us to control the order of the error term for large N. Qualitative analysis of the region of invertibility of Green's function is performed in the case of eigenvalue densities supported on a finite number of intervals and further refined by considering invariant random matrix ensembles. We provide conditions for the appearance of singularities during a continuous deformation of matrix models in question.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Wir betrachten allgemeine Ensembles von N x N Zufallsmatrizen im Limes von großer Matrixgröße (N gegen unendlich). Unser Ziel ist es eine neue Vorgehensweise zu etablieren, um lokalen Eigenwertstatistiken zu analysieren und dadurch die Grenzen der bekannten Universalitätsklassen, ohne strenge Annahmen über die Wahrscheinlichkeitsmaße von Matrix- Ensemble, zu erweitern. Das Problem der Berechnung von n-Punktkorrelationsfunktion wird mittels der supersymmetrischen Verallgemeinerung der Laplace-Transformation gelöst. Der Limes von großem N der Transformation von Partitionsfunktionen wird in vielen Fällen durch die aus der freien Wahrscheinlichkeitstheorie bekannte R-Transformation bestimmt. Wir beweisen die Existenz und Eindeutigkeit von supersymmetrischen Laplace-Transformation und ihre Inverse am Beispiel von interessanten Fällen, in denen ein Verhältnis von Determinantenprodukten erwägt wird. Unser Ausgangspunkt ist die in bestimmter Weise regularisierte Fourier Transformation im Raum Hermitescher Matrizen. Eine detaillierte Herleitung wird am Beispiel einer unitären Symmetrie gegeben, während Formeln für reelle symmetrische und quaternione selbstduale Matrizen jeweils aus der analytischen Struktur von Harish-Chandra-Itzyskon-Zuber Integral über orthogonal und symplektische Gruppen folgen. Die Reichweite von Anwendbarkeit unserer Methode wird durch eine einfache Formel gezeigt, ohne auf irgendwelche Annahmen über die Form der Wahrscheinlichkeitsdichte zu beruhen. Daraus wurde Formalismus entwickelt, der sowohl Standardfälle von Wigner als auch invariante Zufallsmatrix-Ensembles umfasst. Wir entwickeln unendliche N Anwendbarkeitsbedingungen in einer Weise, die uns ermöglicht die Größenordnung von Fehlerterm für großen N zu kontrollieren. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Swiech, Artur T. swiech@thp.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
Contributors:	Contribution Name Email Thesis advisor Zirnbauer, Martin zirn@thp.uni-koeln.de
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-76624
Date:	March 2017
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Physics > Institute for Theoretical Physics
Subjects:	Physics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Random matrix theory, free probability, supersymmetry English
Date of oral exam:	3 April 2017
Referee:	Name Academic Title Zirnbauer, Martin Prof. Dr. Altland, Alexander Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7662