Universität zu Köln

Kollakowski, Nadia (2017). Der Anharmonische Quartische Oszillator: Wohldefiniertheit, spektrale Eigenschaften und Kontrollierbarkeitsaspekte. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir ein bilineares Schrödinger-Kontrollproblem, welches die Dynamik eines quantenmechanischen Teilchens in einem anharmonischen Potential modelliert, das durch ein von einer Laserkonstellation induziertes, zeitabhängiges elektrisches Feld beeinflusst wird. Wir zeigen für quadratintegrierbare Kontrollfunktionen die Existenz einer milden Lösung dieses Systems im Definitionsbereich des Hamilton-Operators und stellen fest, dass es sich, im Falle einer stetigen Kontrollfunktion, bei dieser milden Lösung sogar um eine klassische Lösung handelt. Wir untersuchen die Spektraleigenschaften des Systems in Abwesenheit des zeitabhängigen elektrischen Feldes und leiten, neben asymptotischen Formeln für die Eigenwerte sowie für die spektralen Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Eigenwerten, diverse Abschätzungen der Eigenfunktionen her, mittels derer wir zu der Erkenntnis gelangen, dass im Falle einer Positivität des inneren Hamilton-Operators sämtliche Eigenfunktionen Elemente des Gelfand-Shilov-Raumes $\mathcal{S}_{1/3}^{2/3}$ sind, welchen wir als eine Vereinigung abstrakter Gevrey-Räume für den inneren Hamilton-Operator charakterisieren. Unter Verwendung der nachgewiesenen Spektraleigenschaften, leiten wir im Falle eines nicht-symmetrischen anharmonischen Potentials die exakte Kontrollierbarkeit des um die Grundzustandstrajektorie linearisierten Systems in einem Teilraum von $\mathcal{S}_{1/3}^{2/3}$ her. Im Falle eines symmetrischen Potentials erkennen wir, dass die resultierende Symmetrie der Eigenfunktionen einer Kontrollierbarkeit des linearisierten Systems im Wege steht. Schließlich zeigen wir unter der Annahme einer Invarianzeigenschaft für die Lösung des bilinearen Systems in den Funktionenräumen, in denen das linearisierte System kontrollierbar ist, mittels des Linearisierungsprinzips, die lokale exakte Kontrollierbarkeit des bilinearen Systems in der Nähe des Grundzustandes.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language In this thesis we consider a bilinear Schrödinger control problem modelling the dynamics of a quantum mechanical particle in an anharmonic potential, controlled by a time-dependent electric field induced by a laser constellation. We show the well-posedness of this system, for square-integrable control functions, in the domain of the Hamiltonian, in the sense that there exists a mild solution to this problem which turns out to be even a classical one when assuming the control function to be continuous. As for the spectral properties of the system in the absence of the time-dependent electric field, we find asymptotic formulae for high energy levels (eigenvalues) as well as for the gaps between two such consecutive eigenvalues. Based on several estimates of the corresponding eigenfunctions, we come to realize that, in the case of a positive (uncontrolled) Hamiltonian, these eigenfunctions are all elements of the Gelfand-Shilov space $\mathcal{S}_{1/3}^{2/3}$ which, as we show, can be interpreted as the union of abstract Gevrey spaces for this Hamiltonian. In the case of a non-symmetric anharmonic potential, making use of the established spectral properties, we derive positive exact controllability results for the linearized system around the ground state trajectory in a subspace of $\mathcal{S}_{1/3}^{2/3}$, while we see that in the case of a symmetric potential the resulting symmetry of the eigenfunctions is an obstacle to controlling the linearized system. Finally assuming an invariance property for the solution of the bilinear system in the function spaces where the linearized system is controllable, we deduce the local exact controllability of the bilinear system in the vicinity of the ground state by the linearization principle. English
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Kollakowski, Nadia N.Kollakowski@gmx.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-76757
Date:	2017
Language:	German
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Kontrollierbarkeit partieller Differentialgleichungen, Schrödingergleichung, milde Lösungen, Spektraleigenschaften, Linearisierungsprinzip, Momentenmethode, abstrakte Gevrey-Räume, Gelfand-Shilov-Räume German controllability of PDEs, Schrödinger equation, mild solutions, spectral properties, linearization principle, moment theory, abstract Gevrey spaces, Gelfand-Shilov spaces English
Date of oral exam:	25 April 2017
Referee:	Name Academic Title Kawohl, Bernd Prof. Dr. Kunze, Markus Prof. Dr. Teismann, Holger Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7675