Universität zu Köln

Kaipel, Maximilian ORCID: 0009-0000-3034-2421 (2025). New approaches to a homotopical problem in representation theory. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Let K be a field. The central object of this thesis is the τ-cluster morphism category W(A) of a finite-dimensional K-algebra A. This category encodes the information of all possible τ-tilting reductions in mod(A) and encompasses many objects considered in representation theory, for example (semi-)bricks, (τ-)tilting modules and (τ-)exceptional sequences. When A is a hereditary algebra, the category W(A) is well-understood and its classifying space BW(A) is a K(π,1) space in all representation finite and some tame cases. By definition, this means that the fundamental group is the only nontrivial homotopy group. This is insightful, because the fundamental group of this space, known as the picture group, is closely connected to maximal green sequences, a central object in the theory of cluster algebras. The guiding question of this thesis is based on the conjecture that the classifying space of the τ-cluster morphism category is a K(π,1) space for all τ-tilting finite algebras. It is known that the classifying space of W(A) is a cube complex. Thus, the conditions developed by Gromov for cube complexes to be nonpositively curved may be lifted to three conditions which together imply that BW(A) is a K(π,1) space. The focus of this thesis lies on one of these conditions: the existence of a faithful functor from W(A) to a group considered as a groupoid with one object. In fact, given this condition BW(A) is nonpositively curved if and only if it satisfies the other two conditions. Such a faithful functor to a group is conjectured to exist for all finite-dimensional algebras which are τ-tilting finite. However, few families of algebras satisfying this condition have been found so far. The first part of this thesis builds on a recently introduced geometric viewpoint of W(A) by Schroll-Tattar-Treffinger-Williams. This geometric approach is developed further to obtain a new family of algebras admitting faithful functors to groups. This is achieved by relaxing a condition in the geometric definition. In this way, a category is defined for any simplicial polyhedral fan with an admissible partition, so that the collection of these categories, for a given fan, forms a lattice. For the g-vector fan of an algebra A, the category W(A) is an element of this lattice. If the g-vector fan of A is a finite hyperplane arrangement, it is shown that W(A) admits a faithful functor to a group by using the theory of hyperplane arrangements in convex geometry. In the second part of this thesis, a lattice theoretic approach to W(A) is introduced. As a first step, the τ-cluster morphism category is defined using the lattice of torsion classes of mod(A). Whenever A is τ-tilting finite, this definition is purely combinatorial, so that the lattice of torsion classes determines W(A) up to equivalence. Moreover, the lattice of torsion classes of a τ-tilting finite algebra is isomorphic to that of infinitely many others. Thus, this result extends the families of algebras whose τ-cluster morphism categories admit faithful functors to groups. Let I be an ideal of A. The lattice theoretic approach provides a framework for constructing a functor F from W(A) to W(A/I) and various properties of this functor are investigated. In particular, if A is τ-tilting finite, the functor is a regular epimorphism in the category of small categories. The final chapter contains another application of the lattice theoretic approach. Let L:K be a MacLane separable field extension. After further developing the behaviour of τ-tilting theory under base field extension, a faithful functor G from W(A) to the τ-cluster morphism of the algebra A_L, obtained from A by tensoring by L over K, is constructed using lattice theory. The existence of G leads to the discovery of new families of algebras whose τ-cluster morphism categories admit faithful functors to groups. Thus, this thesis contributes substantially to understanding the relationship between τ-cluster morphism categories of different algebras as well as to answering the question of when their classifying spaces are K(π,1) spaces.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Es sei K ein Körper. Das zentrale Objekt dieser Dissertation ist die τ-Clustermorphismuskategorie W(A) einer endlich-dimensionalen K-Algebra A. Diese Kategorie enthält die Information aller möglichen τ-Kippreduktionen in mod(A) und umfasst außerdem viele Objekte der Darstellungstheorie, zum Beispiel (Halb-)Ziegel, (τ-)Kippmoduln und (τ-)exzeptionelle Folgen. Wenn A eine erbliche Algebra ist, dann ist W(A) gut verstanden und der klassifizierende Raum BW(A) is in allen darstellungsendlichen und manchen zahmen Fällen ein K(π,1)-Raum. Per Definition bedeutet das, dass die einzige nichttriviale Homotopiegruppe die Fundamentalgruppe ist. Das ist aufschlussreich, weil die Fundamentalgruppe, die auch als Bildgruppe bekannt ist, mit maximalen grünen Folgen zusammenhängt, welche zentrale Objekte in der Clustertheorie sind. Die Leitfrage dieser Dissertation beruht auf der Vermutung, dass der klassifzierende Raum der τ-Clustermorphismuskategorie ein K(π,1)-Raum für alle τ-kippendlichen Algebren ist. Der klassifizierende Raum BW(A) ist ein kubischer Komplex. Deshalb können die von Gromov entwickelten Bedingungen, an einen kubischen Komplex nichtpositiv gekrümmt zu sein, benutzt werden, um drei Bedingungen zu geben, die zusammen implizieren, dass BW(A) ein K(π,1)-Raum ist. Der Fokus dieser Dissertation liegt auf einer dieser Bedingungen: der Existenz eines treuen Funktors von W(A) zu einer Gruppe, die als Gruppoid mit einem Objekt betrachtet wird. Unter dieser Voraussetzung ist BW(A) genau dann nichtpositiv gekrümmt wenn die beiden anderen Bedingungen erfüllt sind. Die Existenz eines solchen treuen Funktors wird für alle endlich-dimensionalen Algebren vermutet, welche τ-kippendlich sind. Bisher sind nur wenige Klassen von Algebren, die diese Bedingung erfüllen, bekannt. Der erste Teil dieser Dissertation baut auf einem kürzlich eingeführten geometrischen Ansatz von Schroll-Tattar-Treffinger-Williams auf. Diese geometrische Herangehensweise wird weiterentwickelt, um eine neue Familie von Algebren, deren τ-Clustermorphismuskategorien treue Funktoren zu einer Gruppe zulassen, zu finden. Zu diesem Zweck wird eine Bedingung der geometrischen Definition gelockert. Dadurch wird für jeden glatten, polyedrischen Fächer mit einer zulässigen Partition eine Kategorie definiert, sodass die Sammlung dieser Kategorien eines Fächers einen Verband formt. Für den Fächer der g-Vektoren einer Algebra, enthält dieser Verband die Kategorie W(A). Falls der Fächer der g-Vektoren von A eine endliche Anordnung von Hypereben ist, wird mit Hilfe der Theorie der Hyperebenenanordnungen ein treuer Funktor von W(A) zu einer Gruppe konstruiert. Der zweite Teil dieser Dissertation führt einen verbandstheoretischen Ansatz ein. Als erster Schritt wird die τ-Clustermorphismuskategorie mit Hilfe des Verbands der Torsionsklassen in mod(A) definiert. Wenn A eine τ-kippendliche Algebra ist, ist diese Definition gänzlich kombinatorisch, sodass der Verband der Torsionsklassen die Kategorie W(A) bis auf Äquivalenz bestimmt. Außerdem ist der Verband der Torsionsklassen jeder τ-kippendlichen Algebra isomorph zu unendlich vielen solcher Verbände anderer Algebren. Dadurch erweitert dieses Ergebnis die derzeit bekannten Familien von Algebren, deren τ-Clustermorphismuskategorien treue Funktoren zu Gruppen zulassen. Darüber hinaus sei I ein Ideal von A. Die verbandstheoretische Herangehensweise und die Theorie der Verbandskongruenzen ermöglichen es, einen Funktor F von W(A) zu W(A/I) zu konstruieren und es werden einige Eigenschaften dieses Funktors untersucht. Insbesondere, falls A eine τ-kippendliche Algebra ist, ist dieser Funktor ein regulärer Epimorphismus in der Kategorie der kleinen Kategorien. Das letzte Kapitel behandelt eine weitere Anwendung des verbandstheoretischen Ansatzes. Es sei L:K eine MacLane separable Körpererweiterung. Nachdem das Verhalten der τ-Kipptheorie unter Körpererweiterungen weiter entwickelt wurde, wird ein treuer Funktor G von W(A) zu der τ-Clustermorphismuskategorie der Tensoralgebra A_L, dem Tensorprodukt von A mit L über K, konstruiert. Die Existenz des Funktors G führt zur Entdeckung weiterer Familien von Algebren, deren τ-Clustermorphismuskategorien treue Funktoren zu Gruppen zulassen. Zusammenfassend trägt diese Dissertation sowohl zum Verständnis des Verhältnisses zwischen τ-Clustermorphismuskategorien unterschiedlicher Algebren als auch zur Beantwortung der Frage, wann deren klassifizierenden Räume K(π,1)-Räume sind, bei. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Kaipel, Maximilian UNSPECIFIED orcid.org/0009-0000-3034-2421 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-790304
Date:	15 October 2025
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language representation theory of finite-dimensional algebras English τ-tilting theory English
Date of oral exam:	6 October 2025
Referee:	Name Academic Title Schroll, Sibylle Prof. Dr. Jasso, Gustavo Prof. Dr. Thomas, Hugh Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/79030