Universität zu Köln

Durst, Sebastian (2017). Contact open books: Classical invariants and the binding sum. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In the light of the Giroux correspondence of open books and contact structures, it is natural to study Legendrian knots embedded in a page of a compatible open book of a contact 3-manifold. Legendrian knots, as well as their classical invariants, provide useful information on the ambient contact manifold. This thesis develops formulas for deciding whether a given knot lying on a page of a compatible open book whose monodromy is encoded as a concatenation of Dehn twists along non-isolating curves is nullhomologous, and, if so, for computing its classical invariants. Similarly, we show how to compute the Poincaré dual of the Euler class of the contact structure and how to compute the d3-invariant of the contact structure in case the Euler class is torsion. All invariants can directly be computed from data included in the open book, namely via the intersection behaviour of the knot, an arc basis of the page and the Dehn twist curves encoding the monodromy. We then turn to higher-dimensional manifolds, for which the relation of open books and contact structures remains partly intact. In particular, every contact structure on a manifold is supported by a compatible open book. First purely topologically and also in even dimensions, we study fibre connected sums in the context of open book decompositions and introduce a new class of submanifolds, called nested open books, which are particularly well adapted to this setting. We show that the fibre connected sum of an open book along diffeomorphic binding components -- called the binding sum -- admits a natural open book decomposition provided the respective binding components admit open book structures themselves, which is no restriction in odd dimensions. Furthermore, we prove that in case the binding sum is performed in a contact open book supporting a given contact structure on the manifold, the construction can be adapted such that the resulting natural open book decomposition is compatible with the contact structure obtained by the usual contact fibre connected sum along contactomorphic binding components.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Nullhomologe Legendre-Knoten und ihre klassischen Invarianten liefern viele Informationen über die ambiente dreidimensionale Kontaktmannigfaltigkeit. Im Hinblick auf die Giroux-Korrespondenz von offenen Büchern und Kontaktstrukturen ist es daher natürlich, Legendreknoten zu studieren, die in eine Seite eines kompatiblen offenen Buchs einer dreidimensionalen Kontaktmannigfaltigkeit eingebettet sind. Diese Arbeit entwickelt Formeln, um zu entscheiden, ob ein gegebener, in einer Seite eines offenen Buchs enthaltener Knoten nullhomolog ist und in diesem Fall auch zur Berechnung seiner klassischen Invarianten. Dabei werden wir voraussetzen, dass die Monodromie durch eine Verkettung von Dehn-Twists entlang nicht-isolierender Kurven beschrieben wird. Außerdem wird aufgezeigt, wie das Poincaré-Duale der Euler-Klasse der Kontaktstruktur und, vorausgesetzt die Euler-Klasse ist eine Torsionsklasse, die d3-Invariante der Kontaktstruktur bestimmt werden können. Alle Invarianten können direkt aus einer Beschreibung der Mannigfaltigkeit als abstraktes offenes Buch, genauer, durch das Schnittverhalten des Knotens, einer Bogenbasis der Seite und der Dehn-Twist-Kurven, berechnet werden. Danach wenden wir uns höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten zu, für welche die Beziehung zwischen Kontaktstrukturen und offenen Büchern teilweise erhalten bleibt; insbesondere wird jede Kontaktmannigfaltigkeit von einem kompatiblen offenen Buch getragen. Wir untersuchen -- vorerst rein topologisch und auch in geraden Dimensionen -- Fasersummen im Kontext offener Bücher und führen eine neue Klasse von Untermannigfaltigkeiten, die Daumenkinos, ein, welche gut an diese Situation angepasst sind. Wir beweisen, dass die faservebundene Summe eines offenen Buchs entlang diffeomorpher Bindungskomponenten, genannt Bindungssumme, in natürlicher Weise die Struktur eines offenen Buchs besitzt, wenn die Bindungskomponenten selbst als offenes Buch beschrieben werden können. Diese Bedingung stellt in ungeraden Dimensionen keine Einschränkung dar. Darüberhinaus zeigen wir, dass im Falle der Kontaktbindungssumme, d.h. der Bindungssumme entlang kontaktomorpher Bindungskomponenten eines kompatiblen offenen Buchs einer Kontaktmannigfaltigkeit, die Konstruktion derart angepasst werden kann, dass das resultierende offene Buch kompatibel zur Kontaktstruktur ist, die durch die gewöhnliche kontaktgeometrische Version der faserverbundenen Summe entsteht. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Durst, Sebastian sdurst@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-79466
Date:	2017
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Open books UNSPECIFIED Legendrian knots UNSPECIFIED Contact manifolds UNSPECIFIED
Date of oral exam:	15 December 2017
Referee:	Name Academic Title Geiges, Hansjörg Prof. Dr. Sabatini, Silvia Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7946