Universität zu Köln

Bossinger, Lara (2018). Toric degenerations: a bridge between representation theory, tropical geometry and cluster algebras. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In this thesis we study toric degenerations of projective varieties. We compare different constructions to understand how and why they are related. In focus are toric degenerations obtained from representation theory, tropical geometry or cluster algebras. Often those rely on valuations and the theory of Newton-Okounkov bodies. Toric degenerations can be seen as a combinatorial shadow of the original objects. The goal is therefore to understand why the different theories are so closely related, by understanding the toric degenerations they yield first. We choose Grassmannians, flag varieties and Schubert varieties as starting point as here many different constructions are applicable. One of our main results shows how toric degenerations obtained using full-rank valuations, independent of how these are constructed, can (under certain conditions) be realized using tropical geometry.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language In dieser Arbeit untersuchen wir torische Degenerierungen projektiver Variet¨aten. Wir interessieren uns f¨ur Konstruktionen solcher aus der Darstellungstheorie, der tropischen Geometrie und der Theorie von Cluster Algebren. Ziel ist es, durch analysieren bestimmter Spezialf¨alle die Zusammenh¨ange der verschiedenen Theorien besser zu verstehen. Im Fokus sind deshalb Variet¨aten, auf die eine Vielzahl von Methoden angewandt werden k¨onnen: Grassmannsche, Fahnenvariet¨aten und Schubertvariet¨aten. Wir vergleichen als ersten Schritt die torischen Variet¨aten, die als Degenrierungen erhalten werden. Vor allem interessiert uns ob isomorphe torische Variet¨aten von verschiedenen Kontruktionen erhalten werden. Dies ist h¨aufig der Fall, z.B. f¨ur die Grassmannsche von Geraden im C n k¨onnen alle torischen Variet¨aten, die man mit Methoden der tropischen Geometrie erh¨alt (bis auf Isomorphie) auch mit Hilfe der Darstellungstheorie konstruiert werden. Ein erstes allgemeines Resultat (f¨ur projektive Variet¨aten) l¨asst auf weitere tiefere Zusammenh¨ange hoffen: torische Degenerierungen, die mit Hilfe einer Bewertung und der Theorie von Newton-Okounkov K¨orpern erzeugt werden lassen sich (unter gewissen Bedingungen) mit Hilfe der tropischen Geometrie realisieren. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Bossinger, Lara larabossinger@mac.com UNSPECIFIED UNSPECIFIED
Contributors:	Contribution Name Email Censor Littelmann, Peter littelma@math.uni-koeln.de Censor Sabatini, Silvia sabatini@math.uni-koeln.de
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-84430
Date:	2018
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language toric degeneration UNSPECIFIED Newton-Okounkov body UNSPECIFIED Khovanskii basis UNSPECIFIED
Date of oral exam:	17 July 2018
Referee:	Name Academic Title Littelmann, Peter Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/8443