Friedrich, Lucas (2019). Entropy Stable Summation-by-Parts Methods for Hyperbolic Conservation Laws on h/p Non-Conforming Meshes. PhD thesis, Universität zu Köln.


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In this work we present high-order primary conservative and entropy stable schemes for hyperbolic systems of conservation laws with geometric (h) and algebraic (p) non-conforming rectangular meshes. Throughout we rely on summation-by-parts (SBP) operators which discretely mimic the integration-by-parts rule to construct stable approximations. Thus, the discrete proofs of primary conservation and entropy stability can be done in a one-to-one fashion to the continuous analysis. Here, we consider different SBP operators based on finite difference as well as discontinuous Galerkin approaches. We derive non-conforming schemes by extending ideas of high-order primary conservative and entropy stable SBP methods on conforming meshes. Here, special attention is given to the coupling between non-conforming elements. The coupling is instructed to entropy stable projection operators. However, these projection operators suffer from a suboptimal degree. Therefore, we develop degree preserving SBP operators where the norm matrix has a higher degree compared to classical SBP operators. With these operators it is possible to construct entropy stable projection operators which have the same degree as the SBP differentiationmatrix. Typically, high-order primary conservative and entropy stable schemes are semi-discrete methods with a discretized spatial domain and assuming continuity in time. Therefore, temporal errors are introduced when integrating the conservation laws in time with standard methods, e.g. Runge-Kutta schemes, for which the entropy can have an unpredictable temporal behaviour. Thus, we extend high-order primary conservative and entropy stable semi-discrete methods to fully-discrete schemes on conforming and non-conforming meshes. This results in an implicit space-time method. We introduce a simple mesh generation strategy to obtain quadrilateral meshes surrounding two dimensional complex geometries. Finally, with the generated meshes we simulate a flow around a NACA0012 airfoil to demonstrate the benefits of considering non-conforming elements for a practical simulation.

Item Type: Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:
In dieser Arbeit präsentieren wir primär konservative und Entropie stabile Verfahren hoher Ordnung zum Lösen von Systemen von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen auf geometrischen(h) und algebraischen(p) nicht-konformen rechteckigen Gittern. Dabei verwenden wir ausschließlich summation-by-parts (SBP) Operatoren, welche die partielle Integration diskret nachahmen um stabile Approximationen zu konstruieren. Dadurch können die Beweise von primär konservativen und Entropie stabilen Verfahren analog zur kontinuierlichen Analyse durchgeführt werden. In dieser Arbeit betrachten wir verschiedene SBP Operatoren basierend auf finite Differenzen sowie auf unstetigen Galerkin Ansätzen. Wir leiten nicht-konforme Verfahren her indem wir die Ansätze von primär konservativen und Entropie stabilen SBP Verfahren auf konformen Gittern erweitern. Besondere Aufmerksamkeit ist der Kopplung von nicht-konformen Gittern gewidmet. Die Kopplung ist angewiesen auf Entropie stabile Projektionsoperatoren. Diese Projektionsoperatoren haben allerdings einen suboptimalen Grad. Dadurch entwickeln wir Grad erhaltene SBP Operatoren, wo die Norm Matrix eine höhere Genauigkeit als herkömmliche SBP Operatoren aufweist. Mit diesen Operatoren können wir Entropie stabile Projektionsoperatoren konstruieren welche denselben Grad haben wie die SBP Differtiationsmatrix. Gewöhnlich sind primär konservative und Entropie stabile Verfahren semi-diskret mit einer räumlichen Diskretisierung. Die Zeit hingegen wird als kontinuierlich angenommen. Dadurch ergeben sich temporäre Fehler durch die Zeitintegration der Erhaltungsgleichungen mit Standardverfahren, wie z.B. Runge-Kutta Verfahren, wodurch die Entropie einen unberechenbaren Verlauf in der Zeit annehmen kann. Daher erweitern wir primär konservative und Entropie stabile semi-diskrete Methoden hoher Ordnung zu voll-diskreten Verfahren auf konformen und nichtkonformen Gittern. Die resultierenden Verfahren sind implizite Raum-Zeit Approximation. Wir führen eine simple Strategie zur Generierung von viereckigen Gitterelementen ein um zweidimensionale komplexe Geometrien zu umgeben. Abschließend simulieren wir mit diesen Gittern die Strömung um einen NACA0012 Tragflügel. Mit dieser Simulationen demonstrieren wir die Vorteile von nicht-konformen Gittern für praktische Anwendungen.German
CreatorsEmailORCIDORCID Put Code
Friedrich, Lucaslucasfriedrich@aol.comUNSPECIFIEDUNSPECIFIED
URN: urn:nbn:de:hbz:38-93519
Date: 2019
Language: English
Faculty: Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions: Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects: Mathematics
Uncontrolled Keywords:
Numerical Simulations, Entropy Stability, Non-Conforming Elements, Summation-by-PartsEnglish
Date of oral exam: 18 January 2019
NameAcademic Title
Gassner, GregorProf. Dr.
Sonar, ThomasProf. Dr.
Refereed: Yes


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