Universität zu Köln

On the Cohomology of Generalized Kummer Varieties

Britze, Michael (2002) On the Cohomology of Generalized Kummer Varieties. PhD thesis, Universität zu Köln.

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    Abstract

    In this thesis we are dealing with questions about the cohomology of generalized Kummer varieties. These are irreducible holomorphic symplectic manifolds. According to a theorem of Huybrechts, on such a manifold, the Hirzebruch-Riemann-Roch formula for a line bundle has a very special form: It is a polynomial in the Beauville-Bogomolov quadratic form evaluated in the first Chern class of the line bundle whose coefficients depend only on the manifold and are independent of the line bundle. In the first part of this thesis we give an explicit Hirzebruch-Riemann-Roch formula in the case of generalized Kummer varieties and therewith compute the coefficients of the polynomial. In the following sections we turn to the singular cohomology of generalized Kummer varieties. We consider locally constant systems on the corresponding Hilbert scheme of an abelian surface. This Hilbert scheme is covered by the product of the abelian surface and the generalized Kummer variety and the locally constant systems are induced by this Galois-cover. Using these locally constant sheaves and the description of the ring structure of cohomology of the Hilbert scheme by Lehn and Sorger, we determine the ring structure of the cohomology of the generalized Kummer varieties. In a last chapter we deal with the orbifold cohomology ring of generalized Kummer varieties which was computed by Fantechi and Göttsche. After the correction of a slight error that occurred in their computation of the orbifold cup product in this case, we prove that the orbifold cohomology ring is in fact isomorphic to the ordinary cohomology ring.

    Item Type: Thesis (PhD thesis)
    Translated abstract:
    AbstractLanguage
    In dieser Arbeit beleuchten wir die Kohomologie verallgemeinerter Kummerscher Varietäten. Diese sind kompakte irreduzible holomorph symplektische Mannigfaltigkeiten. Auf einer solchen Mannigfaltigkeit hat nach einem Ergebnis von Huybrechts die Hirzebruch-Riemann-Roch Formel für ein Geradenbündel eine spezielle Form: Sie ist ein Polynom in der Beauville-Bogomolovschen quadratischen Form ausgewertet in der ersten Chern-Klasse des Geradenbündels. Die Koeffizienten dieses Polynoms hängen nur von der Mannigfaltigkeit selbst ab, vom Geradenbündel aber sind sie unabhängig. Im ersten Teil dieser Arbeit geben wir im Falle der verallgemeinerten Kummerschen Varietäten eine explizite Hirzebruch-Riemann-Roch Formel an und berechnen somit diese Konstanten. Im folgenden Kapitel beschäftigen wir uns dann mit der singulären Kohomologie. Durch die Betrachtung lokal konstanter Systemen auf dem Hilbertschema einer abelschen Fläche, welche durch eine Galois-Überlagerung des Hilbertschemas durch das Produkt aus der Fläche und der verallgemeinerten Kummerschen Varietät induziert werden, und indem wir die Beschreibung der Produktstruktur auf der Kohomologie des Hilbertschemas von Lehn und Sorger verwenden, gelangen wir zu einer Beschreibung der Ringstruktur der Kohomologie verallgemeinerter Kummerscher Varietäten. In einem abschließenden Abschnitt beschäftigen wir uns schließlich mit dem Orbifoldkohomologiering verallgemeinerter Kummerscher Varietäten, der von Fantechi und Göttsche berechnet wurde. Wir korrigieren einen kleinen Fehler, der ihnen bei der Berechnung der Produktstruktur im Falle der verallgemeinerten Kummerschen Varietäten unterlaufen ist, und beweisen die Isomorphie des Orbifoldkohomologieringes mit dem singulären Kohomologiering.German
    Creators:
    CreatorsEmail
    Britze, MichaelMichael.Britze@ifbAG.com
    URN: urn:nbn:de:hbz:38-10491
    Subjects: Mathematics
    Uncontrolled Keywords:
    KeywordsLanguage
    Geometrie , Kohomologie , Riemann-Roch , Orbifold , McKayGerman
    geometry , cohomology , Riemann-Roch , orbifold , McKayEnglish
    Faculty: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
    Divisions: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät > Mathematisches Institut
    Language: English
    Date: 2002
    Date Type: Completion
    Date of oral exam: 09 February 2003
    Full Text Status: Public
    Date Deposited: 09 Feb 2004 14:56:31
    Referee
    NameAcademic Title
    Lehn, ManfredProf. Dr.
    URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/1049

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