Universität zu Köln

Die Untersuchung von Bergman-Kernen und Szeg\H{o}-Kernen stellt eine Verbindung zwischen den geometrischen Strukturen von Mannigfaltigkeiten und der Analysis von Funktionenräumen her, wobei Werkzeuge der mikrolokalen und semiklassischen Analysis verwendet werden. In diesem Zusammenhang verbindet die Theorie der Toeplitz-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten die algebraische Struktur von Funktionenräumen auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit mit ihrer Geometrie durch Quantisierung. Im ersten Teil bestimmen wir den vierten Koeffizienten des Berezin–Toeplitz-Sternprodukts auf kompakten Kählerschen Mannigfaltigkeiten in dem Fall, dass die Volumenform nicht polarisiert ist. Angeregt durch die Analysis der Szeg\H{o}-Projektion ist es naheliegend, die Berezin–Toeplitz-Quantisierung auf Cauchy-Riemann-Mannigfaltigkeiten (CR-Mannigfaltigkeiten) zu erweitern und so ein Deformationsquantisierungs-analogon zur symplektischen Geometrie zu erhalten. Dieselbe Perspektive lässt sich auch auf Toeplitz-Operatoren anwenden, die über die Bergman-Projektion auf komplexen Mannigfaltigkeiten mit Rand definiert sind. Im zweiten Teil dieser Arbeit zeigen wir, dass es zu jedem Pseudodifferentialoperator \(L\) auf einer streng pseudokonvexen CR-Mannigfaltigkeit \(X\) eine Folge glatter Funktionen auf \(X\) gibt, die \(L\) repräsentiert. Wir konstruieren eine Algebra solcher Folgen, die analog zur klassischen Deformationsquantisierung die Rolle der Algebra formaler Potenzreihen in einem Parameter mit glatten Funktionen als Koeffizienten übernimmt. Anschließend zeigen wir, dass diese Algebra eine Poisson-Struktur trägt und ein Sternprodukt zulässt. In demselben Sinn weisen wir nach, dass Toeplitz-Operatoren auf komplexen Mannigfaltigkeiten \(M\) mit streng pseudokonvexem CR-Rand \(X\) eine entsprechende Eigenschaft besitzen. Durch die Untersuchung des Poisson-Operators in Randnähe zeigen wir, dass bestimmte Pseudodifferentialoperatoren auf \(\overline{M}\), die sich auf Operatoren am Rand einschränken lassen, durch Folgen harmonischer Funktionen auf \(\overline{M}\) dargestellt werden können. Wir beweisen, dass diese Operatoren eine Poisson-Algebra bilden und ebenfalls ein Sternprodukt tragen. Der dritte Teil ist eine gemeinsame Arbeit mit H. Herrmann und C.-Y. Hsiao und basiert auf neueren Resultaten von H. Herrmann, C.-Y. Hsiao, G. Marinescu und W.-C. Shen. Wir berechnen den zweiten Koeffizienten in der asymptotischen Entwicklung einer bestimmten Spektralprojektion semiklassischer Toeplitz-Operatoren auf kompakten, streng pseudokonvexen, einbettbaren CR-Mannigfaltigkeiten. Diese Operatoren entstehen durch Einführung einer charakteristischen Funktion \(\chi\) sowie eines semiklassischen Parameters \(k\) mittels Funktionalkalküls. Die Schwartz-Kerne dieser Operatoren besitzen eine vollständige asymptotische Entwicklung, was zu neuen Anwendungen in der CR-Geometrie führt. In diesem Teil erweitern wir zunächst die bisherigen Berechnungen des zweiten Koeffizienten des Szeg\H{o}-Kerns auf den Fall einer allgemeinen Reeb-invarianten Volumenform. Anschließend untersuchen wir die Abhängigkeit von \(\chi\) der Koeffizienten in der asymptotischen Entwicklung und bestimmen den zweiten Koeffizienten explizit.

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