Universität zu Köln

Kaszian, Jonas ORCID: 0000-0003-4111-5886 (2019). Indefinite Theta Functions and Higher Depth Mock Modular Forms. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

This thesis consists of research articles on indefinite theta functions, higher depth mock modular forms, higher depth quantum modular forms, and iterated Eichler integrals. First, we study an explicit indefinite theta function of signature (1,3) that occurs in the Gromov-Witten theory of elliptic orbifolds and determine its modular completion, showing that it is a mock modular form of depth 3 using methods of Zwegers and Alexandrov, Banerjee, Manschot, and Pioline. We continue by studying higher rank false theta functions and show that they have the same asymptotic behavior near rationals as iterated Eichler integrals of theta functions. The modular behavior of the Eichler integrals implies that the higher rank false theta functions are quantum modular forms of higher depth. Additionally, one of the occurring Eichler integrals is essentially the purely non-holomorphic part of an indefinite theta function of signature (2,2). Furthermore, we show that these false theta-functions actually satisfy higher depth vector-valued quantum modular behavior. We also generalize a connection between Eichler integrals and Mordell integrals to a two-dimensional case. Finally, we suggest $q$-series that should contribute the other components of the higher depth vector-valued quantum modular forms and show that they span a space that is essentially closed under modular transformation in a special case.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Indefinite Thetafunktionen und Mock-Modulformen höherer Tiefe German
Translated abstract:	Abstract Language Diese Dissertation besteht aus Forschungsarbeiten über indefinite Thetafunktionen, Mock-Modulformen höherer Tiefe, Quanten-Modulformen höherer Tiefe und iterierte Eichler-Integrale. Zunächst betrachten wir eine explizite indefinite Thetafunktion der Signatur (1,3), die im Gromov-Witten-Potential einer elliptischen Orbifaltigkeit auftritt, und bestimmen ihre modulare Vervollständigung durch Methoden von Zwegers und Alexandrov, Banerjee, Manschot und Pioline, woraus folgt, dass sie Mock-Modulformen der Tiefe 3 sind. Weiter betrachten wir falsche Thetafunktionen höheren Ranges und zeigen, dass ihre asymptotische Entwicklung an rationalen Punkten übereinstimmt mit den Entwicklungen von iterierten Eichler-Integralen über definite Thetafunktionen. Die modularen Eigenschaften der Eichler-Integrale implizieren Quanten-Modularität höherer Tiefe für die falschen Thetafunktionen höheren Ranges. Außerdem zeigen wir, dass eines der auftretenden Eichler-Integrale gleichzeitig der rein nicht-holomorphe Teil einer indefiniten Thetareihe der Signatur (2,2) ist. Darüber hinaus beweisen wir, dass diese falschen Thetafunktionen unter der vollen Modulgruppe als vektorwertige Quanten-Modulformen höherer Tiefe transformieren und verallgemeinern eine Gleichung zwischen Eichler-Integralen und Mordell-Integralen zu einem zweidimensionalen Fall. Schließlich geben wir q-Reihen an, die die anderen Komponenten der vektorwertigen Quanten-Modulformen höherer Tiefe liefern sollten und zeigen dies in einem Fall. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Kaszian, Jonas jonaskaszian@gmail.com orcid.org/0000-0003-4111-5886 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-100311
Date:	2019
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language indefinite theta functions, false theta functions, higher depth, modular forms, quantum modular forms, iterated Eichler integrals, harmonic Maass forms, English
Date of oral exam:	20 August 2019
Referee:	Name Academic Title Bringmann, Kathrin Prof. Dr. Zwegers, Sander Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/10031