Bursting in a model with delay for networks of neurons - Kölner UniversitätsPublikationsServer

Gail, Annette (2004). Bursting in a model with delay for networks of neurons. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

It is the intention of this thesis to analyse the mechanisms that lead to bursting in a neuron model. The neuron model used within the thesis describes the membrane potentials as well as the postsynaptic potentials of neurons. The neuron is modelled by a coupled nonlinear system of three differential equations with delay. It consists of a FitzHugh-Nagumo oscillator that is to be considered as an oscillation generator at the axon hillock of the neuron. Further, the model consists of a network equation that sums up all incoming signals and describes the synaptic properties of the neuron. The solutions of the neuron model display three different types of dynamics: stationary behaviour, bursting and spiking. Bursting is characterised by periodic oscillations that are separated by phases of quasistationary behaviour. Permanent oscillations however are called spiking. The different types of dynamics depend on the parameters of the neuron model. Bursting in the analysed model has been regarded up to now as a phenomenon that arises due to the interaction of different time scales within the model. Parameter values that lead to bursting were obtained empirically. It was the aim of this thesis to find a connection between the appearance of bursting and the bifurcation properties of the neuron model. For this purpose the neuron model was analysed using three different approaches. These were the analysis of the complete system for the limiting case of infinite delay time T of the model, the analysis of the stability of the stationary solutions of the model for finite and infinite delay and a bifurcation analysis of the complete system using a numerical bifurcation tool for delay differential equations. The investigations resulted in criteria for the occurence of bursting with respect to the bifurcation parameter for small/finite and large/infinite delay. Finally in this thesis the neuron model was used to describe qualitatively the behaviour of postsynaptic potentials of nerve cells. The idea of different time scales was applied to a small but realistic neural network of three neurons which made it possible to model different types of postsynaptic potentials.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated abstract:

Abstract

Language

In der vorliegenden Arbeit werden Mechanismen, die zu Bursting in einem Neuronenmodell führen, untersucht. Als Bursting wird eine Oszillationsform der Potentiale von Nervenzellen bezeichnet, die sich durch Phasen periodischer Aktivität auszeichnet. Zwischen den Phasen periodischer Aktivität zeigt sich quasistationäres Verhalten. Eine weitere Oszillationsart von Nervenzellen ist Spiking, das ein kontinuierliches Oszillieren des Potentials bezeichnet. In bisherigen Veröffentlichungen zu dem verwendeten Neuronenmodell wurden für das Auftreten von Bursting empirisch gefundene Kriterien angegeben. Das heißt, dass aus numerischen Simulationen Parameterbereiche abgeleitet wurden, für die Bursting auftritt. Ziel dieser Arbeit ist es, Kriterien für das Auftreten von Bursting zu finden, die sich direkt aus den Verzweigungseigenschaften des Modells herleiten lassen. Das Neuronenmodell, das in dieser Arbeit untersucht wird, besteht aus drei gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen mit Zeitverzögerung. Um Kriterien für das Auftreten von Bursting zu finden, die auf der Parameterabhängigkeit des Modells beruhen, müssen die Verzweigungseigenschaften des neuronalen Systems untersucht werden. Dies wurde in der Arbeit mittels drei verschiedener Ansätze durchgeführt: Die Untersuchung des Systems im Fall unendlicher Zeitverzögerung, die Analyse der Stabilität der stationären Lösungen für endliche und unendliche Zeitverzögerung sowie eine numerische Bifurkationsanalyse des Systems. Die Kombination der Ergebnisse dieser Ansätze ermöglicht es dann, Bedingungen anzugeben, für die Bursting in Abhängigkeit vom Verzweigungsparameter auftritt. Die Untersuchungen der Dissertation werden durch ein Anwendungsbeispiel für Bursting abgeschlossen. In der Natur treten viele Arten postsynaptischer Potentiale auf, die in die Basiskategorien schnell, langsam, inhibitorisch und exzitatorisch eingeteilt werden können. Durch die Hinzunahme weiterer Netzgleichungen in das Modell wurde es möglich, diese Klassen postsynaptischer Potentiale für ein kleines neuronales Netz zu modellieren.

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