Exact solutions in Einstein's theory and beyond - Kölner UniversitätsPublikationsServer

Heinicke, Christian (2005). Exact solutions in Einstein's theory and beyond. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

In this thesis we present exact solutions of geometrical theories of gravity, i.e. those of a general relativistic type. In chapter 1, we give a short introduction into the calculus of exterior differential forms, introduce the Cotton 2-form, and investigate its properties (irreducible decomposition, number of independent components, conformal transformation, classification in three dimensions, analytic properties). In view of covariantly conserved quantities, we investigate the relation between the Cotton 2-form, the Bach 3-form, and the Chevreton tensor (a superenergy tensor of the electromagnetic field). Chapter 2 is devoted to gravity in three dimensions. For a model of Mielke and Baekler (MB), we find an exact BTZ-like solution with constant axial torsion. We determine its autoparallels, extremals, Killing vectors, and global charges. Furthermore, we derive from the MB-model a teleparallelism model, Einstein-Cartan theory, and topologically massive gravity. We show how the BTZ-solution with torsion reduces to solutions of the aforementioned subcases. In conclusion we construct a new perfect fluid solution of Einstein's field equation in three dimensions. In the last chapter we turn to four-dimensional metric-affine gravity. We devise a model which allows for the breaking of Lorentz invariance by means of a vector-like quantity (aether). Therefore we take a vector-piece of the nonmetricity. We set up a Lagrangian and derive the field equations. Constraints on the coupling parameters simplify the field equations considerably. We arrive at a quasi-Einstein equation and a wave equation for the aether field. Finally, we discuss a simple solution of this model found by Baekler.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated title:

Title	Language
Exakte Lösungen in der Einstein'schen Theorie der Gravitation und deren Erweiterungen	German

Translated abstract:

Abstract

Language

Diese Dissertation befasst sich mit exakten Lösungen geometrischer Theorien der Gravitation von der Art der Allgemeinen Relativitätstheorie. In Kapitel 1 geben wir einen kurzen Abriss des Kalküls der äußeren Differentialformen, definieren die Cotton 2-Form und untersuchen deren Eigenschaften (irreduzible Zerlegung und Zahl der unabhängigen Komponenten, konforme Transformation, Klassifikation in 3D, analytische Eigenschaften). Anschließend untersuchen wir den Zusammenhang zwischen Cotton 2-Form, Bach 3-Form und Chevreton Tensor (einem Superenergietensor des elektromagnetischen Feldes). Kapitel 2 ist der Gravitation in 1+2 Dimensionen gewidmet. Wir finden eine exakte BTZ-artige Lösung mit konstanter axialer Torsion des Mielke-Baekler-(MB) Modells und bestimmen Autoparallelen, Extremale, Killingvektoren und globale Ladungen. Dann leiten wir aus dem MB-Modell Teleparallelismus, Einstein-Cartan-Theorie und das Modell der topologisch-massiven Gravitation ab und zeigen, wie sich die BTZ-Lösung mit Torsion zu Lösungen der vorgenannten Spezialfälle reduzieren lässt. Abschließend leiten wir eine neue Lösung der 1+2-dimensionalen Einstein'schen Gleichung für perfekte Flüssigkeiten her. Im letzten Kapitel wenden wir uns der 1+3-dimensionalen Metrisch-Affinen-Graviationstheorie (MAG) zu. Es wird ein Modell entwickelt, in dem die Lorentz-Invarianz durch ein Vektorfeld verletzt wird. Dazu verwenden wir einen bestimmten Anteil der Nichtmetrizität. Wir stellen einen Lagrangian auf und wählen die Kopplungsparameter derart, dass sich die Feldgleichungen auf einen quasi-einsteinschen Anteil und eine Wellengleichung für das die Lorentz-Invarianz verletzende Vektorfeld reduzieren. Abschließend diskutieren wir eine einfache, von Baekler gefundene Lösung dieses Modells.

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