Response functions, trading strategies, and random matrices: Analysis of large fluctuations and correlations in stock price diffusion

Weber, Philipp (2006). Response functions, trading strategies, and random matrices: Analysis of large fluctuations and correlations in stock price diffusion. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

In this thesis, we analyze and explain various properties of stock price changes. The change of a stock price in a given time interval is composed of many price changes resulting from single trades. Thus, the up and down movements of a stock price can be seen as analogous to the classic diffusion of a particle: if the particle moves due to random collisions with other particles, the displacement after some time is determined by the sum of the displacements between the collisions. Under certain conditions, the values of such sums are Gaussian distributed. In contrast, extreme price movements such as those of "Black Monday" in 1987, when the S&P500 index fell by about 20% within one day, are so much larger than ordinary price movements that they cannot be accounted for by a Gaussian distribution. One could classify such events as "outliers" that reflect an abnormal market behavior. However, our empirical analysis reveals self-similar features in the time series of price changes, meaning that price changes exhibit similar characteristics on many scales. In particular, a huge price change induces a series of large price changes whose rate decreases over the following months. In a similar way, some of these subsequent large price changes themselves induce further series of intermediate price changes in the following days. Hence, the mechanisms connected to huge price changes seem to be similar for smaller price changes, raising the possibility that these same mechanisms might also underlie ordinary price movements. This picture is supported by the widely accepted finding that the tail of the distribution of stock returns, i.e. changes of the logarithm of the stock price, follows a power law that describes intermediate returns as well as extreme events. Though extreme returns seem to be "ordinary" in the sense that they are connected to the same mechanisms as smaller returns, it is still an open question how returns can occur that are much larger than can be accounted for by a Gaussian distribution. In fixed time intervals, where the large price movements described above take place, the return is determined by two factors: the number of trades in the respective interval and the magnitude of the returns due to single trades (tick returns). In order to better distinguish between these two effects, we focus on intervals with a fixed number of trades, rather than on intervals defined by their actual length in units of time. Interestingly, also here we find unusually large returns, resulting from the concurrence of two things: (i) in the respective interval, the average tick return is large and (ii) most trades change the price in the same direction. We show that a statistical model incorporating the average tick return and the direction of tick returns can reproduce the distribution of stock returns in the studied intervals. While this analysis explains in detail how large stock returns are composed, we examine in a further study why these strong returns occur. It is a reasonable assumption that, besides the influence of news, prices change in response to an imbalance between supply and demand. This imbalance can be quantified by volume imbalance, defined as the difference between the volume (number of shares) of buy and sell orders in a given time interval. On a given volume imbalance, the stock price reacts with a price change that is determined by the price impact function. We reconstruct this function in each time interval from data containing information about all orders present in the market. Here, we show that the time-varying slope of the price impact function is responsible for very large returns. Though in each time interval the price moves due to the volume imbalance, extremely large returns occur only when the price impact function is steeper than average. If prices change in response to trades, there seems to be a paradox: the signs of orders, indicating whether it is a buy or a sell order, are long-term correlated, whereas the returns resulting from the execution of these orders exhibit only short-term correlations with a characteristic time of a few minutes. In order to understand this paradox, we model trading strategies and show that uncorrelated stock price changes appear naturally as soon as someone uses the correlations in the orders to make profit. After studying time correlations in the returns, we also investigate a tool that can be used to analyze cross-correlations between finite time series. Since their length is limited, even uncorrelated time series exhibit spurious cross-correlations resulting from random co-movements that do not reflect the real interactions. We show that a hypothesis test based on random matrix theory can distinguish spurious correlations from real correlations, which we demonstrate using numerical simulations.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated abstract:

Abstract

Language

Die Gesamtänderung eines Aktienkurses in einer gewissen Zeit setzt sich aus vielen Kursänderungen zusammen, die durch einzelne Transaktionen hervorgerufen werden. Somit können die Auf- und Abbewegungen eines Aktienkurses mit der klassischen Diffusion eines Teilchens verglichen werden: Stöße mit anderen Teilchen führen hier zu einer zufälligen Bewegung, wobei die nach einer gewissen Zeit zurückgelegte Strecke durch die Summe der Strecken zwischen den einzelnen Stößen bestimmt ist. Unter bestimmten Voraussetzungen sind die Werte einer solchen Summe gaußverteilt. Im Gegensatz dazu stehen extreme Kursänderungen, die so viel größer als alltägliche Kursschwankungen sind, dass sie nicht von einer Gaußverteilung beschrieben werden können. Beispiele wie der "Schwarzen Montag" im Jahr 1987, als der S&P500-Index innerhalb eines Tages um etwa 20% fiel, scheinen daher ein unnatürliches Verhalten des Marktes widerzuspiegeln. Wir zeigen aber empirisch, dass Aktienkursänderungen Selbstähnlichkeit aufweisen, d.h. auf vielen Skalen ähnliche Eigenschaften besitzen: Eine riesige Kursänderung verursacht eine Reihe weiterer großer Kursänderungen, deren Rate in den folgenden Monaten langsam abfällt. Analog bewirken einige dieser nachfolgenden großen Kursänderungen wiederum mittlere Kursänderungen, deren abfallende Rate für einige Tage nachweisbar ist. Kursausschläge auf großen und mittleren Skalen unterliegen also ähnlichen Mechanismen, so dass sich vermutlich auch alltägliche Kursänderungen auf ähnliche Weise verhalten. In dieses Bild passt die bekannte Entdeckung, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von mittleren bis zu extrem großen Renditen, d.h. Änderungen des logarithmierten Aktienkurses, durch ein einziges Potenzgesetz beschreiben lässt. Obwohl also Extremereignisse "normal" zu sein scheinen in dem Sinne, dass sie mit den gleichen Mechanismen zusammenhängen wie kleinere Kursbewegungen, ist noch immer ungeklärt, wie Renditen entstehen, die viel größer als in einer Gaußverteilung sind. In festen Zeitintervallen, in denen die oben beschriebenen Kursschwankungen stattfinden, hängt die Rendite von zwei Beiträgen ab: von der Anzahl der Transaktionen im Zeitintervall und von der Größe der Renditen infolge einzelner Transaktionen. Um zwischen diesen Effekten besser trennen zu können, untersuchen wir zuerst Intervalle mit einer konstanten Anzahl von Transaktionen, im Gegensatz zu einer festen Länge in der Zeit. Auch hier findet man ungewöhnlich große Kursänderungen, die aus dem gleichzeitigen Auftreten von zwei Dingen resultieren: (i) in dem jeweiligen Intervall ist die mittlere Preisänderung durch eine einzelne Transaktion (die Tickpreisänderung) besonders groß, und (ii) die meisten Transaktionen ändern den Preis in die gleiche Richtung. Die Verteilung der Gesamtrenditen in den untersuchten Intervallen kann von einem statistischen Modell reproduziert werden, das auf den Verteilungen der mittleren Tickpreisänderung und der Richtung der Tickpreisänderungen basiert. Während diese Analyse im Detail beschreibt, wie sich große Kursänderungen zusammensetzen, arbeitet eine weitere Untersuchung heraus, warum es zu diesen großen Renditen kommt. Eine mögliche Annahme ist, dass Preise sich, neben dem Einfluss von Nachrichten, als Antwort auf ein Ungleichgewicht in Angebot und Nachfrage ändern, welches sich durch das Volumenungleichgewicht quantifizieren lässt. Dieses beschreibt die Differenz zwischen dem Volumen (Anzahl von Aktien) an Kauf- und Verkaufaufträgen (Orders) in einem Zeitintervall. Die Preiseinwirkungsfunktion beschreibt nun, welche Preisänderung ein gegebenes Ungleichgewicht hervorruft. In jedem Zeitintervall rekonstruieren wir diese Funktion aus allen im Markt vorhandenen Orders und zeigen, dass außergewöhnlich große Renditen nur auftreten, wenn die Preiseinwirkungsfunktion überdurchschnittlich steil ist. Wenn Aktienkurse sich als Antwort auf das Ausführen von Orders ändern, scheint ein Paradoxon zu entstehen: Orders, bzw. deren Vorzeichen, die angeben, ob es sich um Kauf- oder Verkauf-Orders handelt, sind langreichweitig korreliert, wohingegen die durch die Orders hervorgerufenen Kursänderungen lediglich kurzreichweitige Korrelationen aufweisen. Um dieses Paradoxon zu lösen, modellieren wir Handelsstrategien und zeigen, dass unkorrelierte Renditen aus korrelierten Orders auf natürliche Weise entstehen, sobald jemand die Korrelationen in den Orders zur Steigerung seines Gewinns verwendet. Nach der Untersuchung zeitlicher Korrelationen von Renditen analysieren wir auch Kreuzkorrelationen zwischen endlichen Zeitreihen. Auf Grund ihrer begrenzten Länge führen zufällige Gleichbewegungen zwischen den Zeitreihen zu künstlichen Korrelationen, die nicht die tatsächlichen Wechselwirkungen widerspiegeln. Wir stellen einen auf Zufallsmatrixtheorie basierenden Test vor, der zwischen echten und unechten Korrelationen in endlichen Zeitreihen unterscheiden kann, was mit numerischen Simulationen gezeigt wird.

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