Universität zu Köln

Sümmermann, Moritz Lucius ORCID: 0000-0001-8751-3017 (2020). Mathematical Simulations in Topology and Their Role in Mathematics Education. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

This thesis presents and discusses several software projects related to the learning of mathematics in general and topological concepts in particular, collecting the results from several publications in this field. It approaches mathematics education by construction of mathematical learning environments, which can be used for the learning of mathematics, as well as by contributing insights gained during the development and use of these learning environments. It should be noted that the presented software environments were not built for the use in schools or other settings, but to provide proofs of concepts and to act as a basis for research into mathematics and its education and communication. The first developed and analyzed environment is Ariadne, a software for the interactive visualization of dots, paths, and homotopies of paths. Ariadne is used as an example of a “mathematical simulation”, capable of supporting argumentation in a way that may be characterized as proving. The software was extended from two to three dimensions, making possible the investigation of two-dimensional manifolds, such as the torus or the sphere, using virtual reality. Another extension, KnotPortal, enables the exploration of three-dimensional manifolds represented as branched covers of knots, after an idea by Bill Thurston to portray these branched covers of knots as knotted portals between worlds. This software was the motivation for and was used in an investigation into embodied mathematics learning, as this virtual reality environment challenges users to determine the structure of the covering by moving their body. Also presented are some unpublished projects that were not completed during the doctorate. This includes work on concept images in topology as well as software for various purposes. One such software was intended for the construction of closed orientable surfaces, while another was focused on the interactive visualization of the uniformization theorem. The thesis concludes with a meta-discussion on the role of design in mathematics education research. While design plays an important role in mathematics education, designing seems to not to be recognized as research in itself, but only as part of theory building or, in most cases, an empirical study. The presented argumentation challenges this view and points out the dangers and obstacles involved.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Mathematische Simulationen in der Topologie und ihre Rolle in der Mathematikdidaktik German
Translated abstract:	Abstract Language In dieser Dissertation werden mehrere Projekte vorgestellt und diskutiert, wobei sich die Ergebnisse aus mehreren Veröffentlichungen aus diesem Gebiet zusammensetzen. Bei den Projekten handelt es sich um entwickelte Software, die sich auf das Erlernen von Mathematik im Allgemeinen und von topologischen Konzepten im Besonderen bezieht. Diese Arbeit nähert sich der Mathematikdidaktik zum einen durch die Konstruktion von mathematischen Lernumgebungen, die für das Erlernen von Mathematik verwendet werden können, und zum anderen durch das Einbringen von Erkenntnissen, die während der Entwicklung und Nutzung dieser Lernumgebungen gewonnen wurden. Es ist darauf hinzuweisen, dass die vorgestellten Lernumgebungen nicht für den Einsatz in Schulen oder anderen Einrichtungen entwickelt wurden, sondern um als „proofs of concepts“ zu dienen und eine Grundlage für die Erforschung der Mathematik sowie ihrer Didaktik und Kommunikation zu bilden. Die erste dieser Umgebungen ist Ariadne, eine Software für die interaktive Visualisierung von Punkten, Wegen und Homotopien von Wegen. Ariadne wird als Beispiel für eine „mathematische Simulation“ verwendet, die in der Lage ist Argumentationen in einer Weise zu unterstützen, die man als beweisend bezeichnen kann. Die Software wurde von zwei auf drei Dimensionen erweitert, wodurch die Untersuchung zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten, wie beispielsweise des Torus oder der Sphäre, mithilfe von Virtual Reality ermöglicht wird. Eine zusätzliche Erweiterung, KnotPortal, ermöglicht die Untersuchung von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, die als verzweigte Überlagerungen von Knoten dargestellt werden. Die Software entstand nach einer Idee von Bill Thurston, verzweigte Überlagerungen als verknotete Portale zwischen Welten zu sehen. Diese Umgebung war die Motivation für eine Studie zum „Embodied Learning“ in der Mathematik und wurde auch dort verwendet, da die Virtual Reality- Umgebung von KnotPortal Nutzer dazu anregt, die Struktur der verzweigten Überlagerung durch Bewegung des Körpers zu erkennen. Außerdem werden einige unveröffentlichte Projekte vorgestellt, die während der Promotion nicht abgeschlossen wurden. Dazu gehören Arbeiten zu Grundvorstellungen in der Topologie sowie Software für verschiedene Zwecke. Eine solche Software war für die Konstruktion geschlossener orientierbarer Oberflächen vorgesehen, während sich eine andere auf die interaktive Visualisierung des Uniformisierungssatzes konzentrierte. Abschließend enthält die Arbeit eine Meta-Diskussion über die Rolle von „Design“ in der mathematikdidaktischen Forschung. Obwohl Design in der Mathematikdidaktik eine wichtige Rolle spielt, scheint dieses nicht als Forschung an sich anerkannt zu sein, sondern nur als Teil von Theoriebildung oder meistens von empirischen Studien. Die vorgelegte Argumentation stellt diese Sichtweise in Frage und weist auf die damit verbundenen Gefahren und Hindernisse hin. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Sümmermann, Moritz Lucius moritz.suemmermann@uni-koeln.de orcid.org/0000-0001-8751-3017 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-207573
Date:	2020
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Science Education > Institute of Mathematics Education
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Topology English Mathematics Education English Virtual Reality English
Date of oral exam:	23 June 2020
Referee:	Name Academic Title Rott, Benjamin Prof. Dr. Bauer, Sebastian Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/20757