Universität zu Köln

Boschert, Sandra (2020). B-Spline Based Methods: From Monotone Multigrid Schemes for American Options to Uncertain Volatility Models. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In the first part of this thesis, we consider B-spline based methods for pricing American options in the Black-Scholes and Heston model. The difference between these two models is the assumption on the volatility of the underlying asset. While in the Black-Scholes model the volatility is assumed to be constant, the Heston model includes a stochastic volatility variable. The underlying problems are formulated as parabolic variational inequalities. Recall that, in finance, to determine optimal risk strategies, one is not only interested in the solution of the variational inequality, i.e., the option price, but also in its partial derivatives up to order two, the so-called Greeks. A special feature for these option price problems is that initial conditions are typically given as piecewise linear continuous functions. Consequently, we have derived a spatial discretization based on cubic B-splines with coinciding knots at the points where the initial condition is not differentiable. Together with an implicit time stepping scheme, this enables us to achieve an accurate pointwise approximation of the partial derivatives up to order two. For the efficient numerical solution of the discrete variational inequality, we propose a monotone multigrid method for (tensor product) B-splines with possible internal coinciding knots. Corresponding numerical results show that the monotone multigrid method is robust with respect to the refinement level and mesh size. In the second part of this thesis, we consider the pricing of a European option in the uncertain volatility model. In this model the volatility of the underlying asset is a priori unknown and is assumed to lie within a range of extreme values. Mathematically, this problem can be formulated as a one dimensional parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman equation and is also called Black-Scholes-Barenblatt equation. In the resulting non-linear equation, the diffusion coefficient is given by a volatility function which depends pointwise on the second derivative. This kind of non-linear partial differential equation does not admit a weak H^1-formulation. This is due to the fact that the non-linearity depends pointwise on the second derivative of the solution and, thus, no integration by parts is possible to pass the partial derivative onto a test function. But in the discrete setting this pointwise second derivative can be approximated in H^1 by L^1-normalized B-splines. It turns out that the approximation of the volatility function leads to discontinuities in the partial derivatives. In order to improve the approximation of the solution and its partial derivatives for cubic B-splines, we develop a Newton like algorithm within a knot insertion step. Corresponding numerical results show that the convergence of the solution and its partial derivatives are nearly optimal in the L^2-norm, when the location of volatility change is approximated with desired accuracy.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit B-spline basierten Verfahren zur Bewertung Amerikanischer Optionen anhand des Black-Scholes und Heston-Modells. Die beiden Modelle unterscheiden sich in der Annahme an die Volatilität des Basiswertes. Während im Black-Scholes-Modell die Volatiliät als konstant vorausgesetzt wird, wird im Heston-Modell eine stochastische Volatilität angenommen. Die resultierenden Probleme werden als parabolische Variationsungleichungen formuliert. Um optimale Risikostrategien zu entwickeln, sind in der Finanzwelt neben der Berechnung des Optionspreises auch deren partiellen Ableitungen bis zur Ordnung zwei, die sogenannten Griechen, von besonderem Interesse. Eine Besonderheit der Optionspreisprobleme ist, dass die Anfangsbedingung üblicherweise als stückweise lineare stetige Funktion gegeben ist. Aufgrund dessen werden die Probleme hinsichtlich des Ortes mit kubischen B-Splines und zusammenfallenden Knoten an solchen Punkten, wo die Anfangsbedingung nur stetig ist, diskretisiert. Dieser Ansatz ermöglicht zusammen mit einem impliziten Zeitschrittverfahren die punktweise genaue Approximation der Griechen. Zur effizienten Lösung der diskreten Variationsungleichung haben wir ein monotones Mehrgitterverfahren für (Tensorprodukt-)B-Splines mit zusammenfallenden Knoten im Inneren des Gebietes entwickelt. Zugehörige numerische Resultate zeigen, dass das monotone Mehrgitterverfahren robust bezüglich der Verfeinerungslevel und Gitterweiten ist. In dem zweiten Teil dieser Arbeit werden mit dem sogenannten Uncertain-Volatility-Modell (Modell mit unsicherer Volatilität) Europäische Optionen bewertet. In diesem Modell ist die Volatilität a priori nicht bekannt und es wird angenommen, dass sie in einem Intervall von Extremwerten liegt. Mathematisch kann dieses Problem als eine eindimensionale parabolische Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung formuliert werden und wird auch Black-Scholes-Barenblatt-Gleichung genannt. In der resultierenden nichtlinearen Gleichung ist der Diffusionskoeffizient durch eine Volatilitätsfunktion gegeben, die punktweise von der zweiten partiellen Ableitung der Lösung abhängt. Diese Art von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen haben keine schwache H^1-Formulierung. Das liegt daran, dass der nichtlineare Term von der punktweisen Auswertung der zweiten Ableitung der Lösung abhängt und keine partielle Integration möglich ist, um die partielle Ableitung auf die Testfunktion zu übertragen. Aber im diskreten Fall kann diese zweite partielle Ableitung in H^1 mit L^1-normalisierten B-Splines approximiert werden. Es stellt sich heraus, dass die Approximation der Volatilitätsfunktion zu Unstetigkeiten in den partiellen Ableitungen führt. Um die Approximation der Lösung und dessen partielle Ableitungen für kubische B-splines zu verbessern, wird das Newton Verfahren um einen Schritt erweitert, in dem Knoten eingefügt werden. Zugehörige numerische Resultate zeigen, dass die Konvergenzraten für die Lösung und dessen partielle Ableitungen fast optimal sind, wenn die Stelle, wo sich die Volatilität verändert, genau genug approximiert wird. UNSPECIFIED
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Boschert, Sandra sandra-boschert@web.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-250487
Date:	5 November 2020
Place of Publication:	Köln
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Heston model, Black-Scholes model, Uncertain volatility model, American option, Greeks, tensor product B-splines, B-splines, parabolic variational inequalities, existence and uniqueness for variational inequalities, a priori estimates for variational inequalities, monotone multigrid method, non-smooth initial condition, Black-Scholes-Barenblatt equation, European option, Uncertain-volatility model, semismooth Newton method UNSPECIFIED
Date of oral exam:	26 October 2020
Referee:	Name Academic Title Kunoth, Angela Prof. Dr. Harbrecht, Helmut Prof. Dr. Langer, Ulrich Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/25048