Universität zu Köln

Matthes, Michael (2012). Numerical Analysis of Nonlinear Partial Differential-Algebraic Equations: A Coupled and an Abstract Systems Approach. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Various mathematical models in many application areas give rise to systems of partial differential equations and differential-algebraic equations (DAEs). These systems are called partial or abstract differential-algebraic equations (ADAEs). Being usually discretized by the method of lines the semi-discretized system yields in general a DAE. A substantial mathematical treatment of nonlinear ADAEs is still at an initial stage. We present two approaches treating nonlinear ADAEs. We investigate them with regard to the solvability and uniqueness of solutions and the convergence of solutions of semi-dicretized systems to the original solution. Furthermore we study the sensitivity of a solution with regard to perturbations on the right hand side and in the initial value. The first approach represents an extension of an approach by Tischendorf for the treatment of a specific class of linear ADAEs to the nonlinear case. It is based on the Galerkin approach and the theory of monotone operators for evolution equations. We prove unique solvability of the ADAE and strong convergence of the Galerkin solutions. Furthermore we prove that this class of ADAEs has Perturbation Index 1 and at most ADAE Index 1. In the second approach we formulate two prototypes of coupled systems, an elliptic and a parabolic one. Here a semi-explicit DAE is coupled to an infinite dimensional algebraic operator equation or an evolution equation. For both prototypes we prove unique solvability, strong convergence of Galerkin solutions and a Perturbation Index 1 result. Both prototypes are applied to concrete coupled systems in circuit simulation. In this context we also prove a global solvability result for the nonlinear equations of the Modified Nodal Analysis under suitable topological assumptions.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Verschiedene mathematische Modelle in zahlreichen Anwendungsgebieten resultieren in Gleichungssystemen Differential-Algebraischer Gleichungen (DAEs) und partieller Differentialgleichungen. Diese Systeme werden auch partielle oder abstrakte Differential-Algebraische Gleichungen genannt (ADAEs). Sie werden gewöhnlich durch die Linienmethode diskretisiert und das halb-diskretisierte System stellt eine DAE dar. Eine systematische mathematische Behandlung nichtlinearer ADAEs ist zurzeit noch im Anfangsstadium. Wir präsentieren zwei Ansätze, um nichlineare ADAEs zu behandeln. Zum einen untersuchen wir sie im Hinblick auf Lösbarkeit und Eindeutigkeit von Lösungen und der Konvergenz von Lösungen des halb-diskretisierten Systems zur Lösung des Ausgangssystems. Zum anderen studieren wir die Sensitivität der Lösung unter Störungen auf der rechten Seite und im Startwert. Der erste Ansatz erweitert einen Ansatz von Tischendorf für die Behandlung einer speziellen Klasse linearer ADAEs auf den nichtlinearen Fall. Er basiert auf dem Galerkinansatz und der Theorie monotoner Operatoren für Evolutionsgleichungen. Wir zeigen eindeutige Lösbarkeit der ADAE und starke Konvergenz der Galerkinlösungen. Weiterhin beweisen wir, dass diese Klasse von ADAEs Störungsindex 1 und höchstens ADAE-Index 1 hat. Im zweiten Ansatz formulieren wir zwei Prototypen gekoppelter Systeme, einen elliptischen und einen parabolischen, indem wir eine semi-explizite DAE an eine unendlich dimensionale algebraische Operatorgleichung oder an eine Evolutionsgleichung koppeln. Für beide Prototypen zeigen wir eindeutige Lösbarkeit, starke Konvergenz der Galerkinlösungen und ein Störungsindex-1-Resultat. Beide Prototypen finden Anwendung bei konkreten gekoppelten Systemen in der Schaltungssimulation. In diesem Zusammenhang zeigen wir zusätzlich globale Lösbarkeit für die nichtlinearen Gleichungen der Modifizierten Knotenanalyse unter passenden topologischen Voraussetzungen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Matthes, Michael mmatthes@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-49295
Date:	2012
Publisher:	Berlin: Logos-Verlag
ISBN:	978-3-8325-3278-9
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Partial Differential-Algebraic Equations; Coupled Systems; Perturbation Index; Circuit Simulation; Galerkin Approach English
Date of oral exam:	5 November 2012
Referee:	Name Academic Title Tischendorf, Caren Prof. Dr. Küpper, Tassilo Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/4929