Universität zu Köln

Heinrich, Markus ORCID: 0000-0002-1334-7885 (2021). On stabiliser techniques and their application to simulation and certification of quantum devices. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The stabiliser formalism is a widely used and successful subtheory of quantum mechanics consisting of stabiliser states, Clifford unitaries and Pauli measurements. The power of the formalism comes from the description of its elements via simple group theory. Although the origins of the formalism lie in quantum error correction and fault-tolerant quantum computing, the utility of the formalism goes beyond that. The Gottesman-Knill theorem states that the dynamics of stabiliser states under Clifford unitaries and Pauli measurements can be efficiently simulated on a classical computer. This algorithm can be extended to arbitrary states and unitaries in multiple ways at the cost of an increased runtime. This runtime can be seen as a quantification of the non-stabiliser resources needed to implement a quantum circuit. Moreover, as non-stabiliser elements are necessary for universal quantum computing, the runtime provides a way to measure the “non-classicality” of a computation. This is particularly pronounced in the magic state model of quantum computing where the only non-stabiliser elements are given by magic states. Hence, in the resource theory of magic, resources are measured through magic monotones which are operationally linked to runtimes of classical simulation algorithms. In this thesis, I discuss different aspects of the resource theory of magic. The mentioned classical simulation algorithms require the computation of magic monotones which is in general a computationally intractable problem. However, I show that the computational complexity can be exponentially reduced for certain classes of symmetric states, such as copies of magic states. To this end, the symmetries of the convex hull of stabiliser states are characterised and linked to their properties as so-called designs. In addition, I study the recently introduced class of completely stabiliser-preserving channels (CSP), which is the class of quantum channels unable to generate magic resources. It is shown that this class is strictly larger than the class of stabiliser operations, composed of Clifford unitaries and Pauli measurements. This finding could have several interesting consequences. First, it implies that there is a class of efficiently simulable quantum channels beyond the Gottesman-Knill theorem. Second, it is possible that optimal magic state distillation rates cannot be achieved via stabiliser operations and this gap is in fact significant. Further applications of the stabiliser formalism come through design theory. A unitary t-design is an ensemble of unitaries which reproduce the first t moments of the Haar measure on the unitary group. Randomness in the form of Haar-random unitaries is an essential building block in many quantum information protocols. Implementing such Haar-random unitaries is however often impractical. Here, designs can exhibit considerably lower resource requirements while still being random enough for most applications. Some of the most prominent examples of such protocols concern the certification and characterisation of quantum systems, such as randomised benchmarking. Interestingly, the group of Clifford unitaries forms a unitary 3-design and is often the prime choice thanks to efficient group operations. In this thesis, I summarise my recent results obtained with collaborators in constructing approximate unitary t-designs from the Clifford group supplemented by only few non-Clifford gates. Intriguingly, this construction uses only O(t^4) single qubit non-Clifford gates and is independent of the number of qubits n. Overall, this yields a gate count which is a significant improvement over for the Brandao-Harrow- Horodecki construction based on local random circuits. To provide context for this result, I review the representation theory of the Clifford group and define the Clifford semigroup. In an attempt to generalise approximations results for the unitary group to the Clifford group, the Clifford semigroup is investigated for suitable approximations of the Clifford twirl.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Der Stabilisator-Formalismus ist eine erfolgreiche und weitverbreitete Untertheorie der Quantenmechanik bestehend aus Stabilisator-Zuständen, Clifford-Unitären und Pauli-Messungen. Die Mächtigkeit des Formalismus begründet sich auf der Beschreibung seiner Elemente durch einfache Gruppentheorie. Obwohl die Ursprünge des Formalismus in der Quantenfehlerkorrektur und im fehlertoleranten Quantenrechnen liegen, geht seine Nützlichkeit weit darüber hinaus. Das Gottesman-Knill-Theorem besagt, dass die Dynamik eines Stabilisator-Zustandes unter Clifford-Unitären und Pauli-Messungen effizient auf einem klassischen Computer simuliert werden kann. Der zugrundeliegende Algorithmus kann auf verschiedene Arten auch auf beliebige Zustände und Unitäre ausgeweitet werden. Dies geschieht jedoch im Allgemeinen auf Kosten der Laufzeit. Die erhöhte Laufzeit kann dabei als eine Quantifizierung der benötigten nicht-Stabilisator-Resourcen eines Quantenschaltkreises angesehen werden. Da solche nicht-Stabilisator-Resourcen notwendig für universelles Quantenrechnen sind, kann eine erhöhte Laufzeit darüber hinaus auch als ein Maß für die nichtklassische Natur einer Rechnung verstanden werden. Diese Perspektive wird besonders im „magic state“-Modell des Quantenrechnens deutlich, in dem die einzigen nicht-Stabilisator-Elemente aus sogenannten magic states (magischen Zuständen) bestehen. Daher werden in der Theorie der magischen Resourcen die Resourcen in Form von Zuständen durch sogenannte magische Maße quantifziert, die direkt der Laufzeit eines klassischen Simulationsalgorithmus entsprechen. In dieser Dissertation diskutiere ich verschiedene Aspekte der Theorie der magischen Resourcen. Die erwähnten klassischen Simulationsalgorithmen setzen die Berechnung von magischen Maßen voraus, was im Allgemeinen ein rechnerisch unlösbares Problem darstellt. Allerdings zeige ich, dass der Rechnenaufwand exponentiell reduziert werden kann, wenn diese Maße für symmetrische Zustände berechnet werden. Dies umfasst insbesondere Kopien von magischen Zuständen. Dazu charakterisiere ich die Symmetrien der konvexen Hülle von Stabilisator-Zuständen and zeige, dass diese durch ihre Eigenschaften als sogenannte Designs bestimmt sind. Zusätzlich studiere ich die kürzlich eingeführte Klasse der vollständig Stabilisator-erhaltenden Abbildungen (CSP), welches genau jene Quantenkanäle umfasst, die nicht in der Lage sind magische Resourcen zu erzeugen. Ich zeige, dass diese Klasse echt größer als die Klasse von Stabilisator-Operationen, bestehend aus Clifford-Unitären und Pauli-Messungen, ist. Diese Erkenntnis könnte einige interessante Konsequenzen haben. Zum Einen zeigt es, dass eine Klasse von effizient simulierbaren Quantenkanälen existiert, die über das Gottesman-Knill-Theorem hinausgeht. Zum Anderen ist es vorstellbar, dass optimale Raten in der Destillation von magischen Zuständen nur mittels CSP- und nicht mit Stabilisator-Operationen erreichbar sind. Der Unterschied könnte dabei signifikant sein. Weitere Anwendungen des Stabilisator-Formalismus kommen aus der Theorie der Designs. Ein unitären t-Design ist ein Ensemble von Unitären, welches in der Lage ist, die ersten t Momente des Haar-Maßes auf der unitären Gruppe zu reproduzieren. Zufall ind er Form von Haar-zufälligen Unitären ist ein essentieller Baustein in vielen Quanteninformationsprotokollen. Die Implementierung solcher Haar-zufälligen Unitären ist jedoch oft schwierig. Hier setzen Designs wesentlich weniger Resourcen voraus und sind gleichzeitig zufällig genug für die meisten Anwendungen. Viele bekannte Beispiele für solche Protokolle betreffen dabei die Charakterisierung und Zertifizierung von Quantensystemen, wie beispielsweise randomised benchmarking. Interessanterweise ist die Clifford-Gruppe ein unitäres 3-Design und ist, dank effizienter Gruppenoperationen, oft die erste Wahl in der Anwendung. Im Rahmen dieser Dissertation fasse ich eine kürzlich mit Koautoren veröffentlichte Arbeit zu approximativen unitären t-Designs zusammen. In unserer Konstruktion werden zufällige Clifford-Unitäre mit wenigen Nicht-Clifford-Gattern ergänzt. Interessanterweise benötigt unser Ansatz nur O(t^4) viele Nicht-Clifford-Gatter und dies ist unabhängig von der Anzahl an Qubits n. Insgesamt ist die benötigte Anzahl an Gattern, eine signifikante Verbesserung gegenüber der Brandao-Harrow-Horodecki-Konstruktion basierend auf lokalen, zufälligen Schaltkreisen. Um dieses Ergebnis präsentieren zu können, fasse ich einige Resultate zur Darstellungstheorie der Clifford-Gruppe zusammen. In diesem Kontext führe ich auch die Clifford-Halbgruppe ein. Motiviert durch Approximationsresulte für die unitäre Gruppe untersuche ich die Eignung der Clifford-Halbgruppe für die Approximation des Erwartungswerts über die Clifford-Gruppe. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Heinrich, Markus UNSPECIFIED orcid.org/0000-0002-1334-7885 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-504656
Date:	2021
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Physics > Institute for Theoretical Physics
Subjects:	Mathematics Physics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language quantum computing, quantum information theory, stabilizer formalism, magic states, classical simulation, Clifford group, unitary designs English Quantenrechnen, Quanteninformationshtheorie, Stabilisator-Formalismus, magische Zuständen, klassische Simulation, Clifford-Gruppe, unitäre Designs German
Date of oral exam:	3 May 2021
Referee:	Name Academic Title Gross, David Prof. Dr. Klesse, Rochus PD Dr. Müller, Markus Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/50465