Universität zu Köln

Charton, Isabelle (2021). Tall and Monotone Complexity One Spaces of Dimension Six. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In this thesis we focus on six-dimensional compact and monotone Hamiltonian $T$-spaces of complexity one. In particular, we are interested to which extent the underlying manifolds of such spaces differ from Fano threefolds. The famous Convexity Theorem by Atiyah and Guillemin-Sternberg states that the image of the moment map of a compact Hamiltonian $T$-space is a convex polytope. The complexity of a Hamiltonian $T$-space is the integer given by half of the dimension of the underlying manifold minus the dimension of the torus $T$. By a work of Delzant compact Hamiltonian $T$-spaces of complexity zero are completely classified by their moment map images. The analogue of this result fails to be true for compact Hamiltonian $T$-spaces of complexity greater than zero. A compact Hamiltonian $T$-space of complexity one is called tall if each reduced space is two-dimensional. These spaces have been intensively studied by Karshon and Tolman. We show that the moment map image of a compact, tall and monotone Hamiltonian $T$-space of complexity one satisfies special properties. Using these observations we give a complete classification of such spaces in dimension six. As a consequence of this classification it turns out that any six-dimensional compact, tall and monotone Hamiltonian $T$-space of complexity one is diffeomorphic to a Fano threefold.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Große und monotone sechs-dimensionale Räume der Komplexität eins German
Translated abstract:	Abstract Language In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit sechs-dimensionalen kompakten und monotonen Hamiltonischen $T$-Räumen der Komplexität eins. Im Fokus steht hierbei die Frage inwiefern sich die zugrundeliegenden Mannigfaltigkeiten solcher Räume von Fano Varietäten mit komplexer Dimension drei unterscheiden. Der berühmte Konvexitätssatz von Atiyah und Guillemin-Sternberg besagt, dass das Bild der Impulsabbildung eines kompakten Hamiltonischen T-Raums ein konvexes Polytop ist. Die Komplexität eines Hamiltonischen $T$-Raums ist die ganze Zahl gegeben durch die Hälfte der Dimension der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit minus der Dimension des Torus $T$. Nach einer Arbeit von Delzant sind kompakte Hamiltonsche $T$-Räume der Komplexität null vollständig durch die Bilder ihrer Impulsabbildungen charakterisiert. Das Analogon dieses Resultates gilt nicht für kompakte Hamiltonsche $T$-Räume mit einer Komplexität größer null. Ein kompakter Hamiltonischer $T$-Raum der Komplexität eins wird groß genannt, wenn jeder reduzierte Raum entweder leer oder eine topologische Fläche ist. Diese großen Hamiltonischen $T$-Räume der Komplexität eins wurden von Karshon und Tolman intensiv untersucht. In dieser Arbeit zeigen wir, dass das Bild der Impulsabbildung eines kompakten, großen und monotonen Hamiltonischen $T$-Raums der Komplexität eins besondere Eigenschaften erfüllt. Ausgehend von diesem Resultat geben wir eine komplette Klassifikation von kompakten, großen und monotonen Hamiltonischen $T$-Räumen der Komplexität eins. Eine Konsequenz dieser Klassifikation ist, dass jeder sechs-dimensionale kompakte, große und monotone Hamiltonsche $T$-Raum der Komplexität eins diffeomorph zu einer Fano Varietät ist. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Charton, Isabelle charton0isa@gmail.com UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-541950
Date:	6 December 2021
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Hamiltonian actions English monotone symplectic manifolds English
Date of oral exam:	21 October 2021
Referee:	Name Academic Title Sabatini, Silvia Prof. Dr. Marinescu, George Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/54195