Universität zu Köln

Mertens, Michael Helmut (2014). Mock Modular Forms and Class Numbers of quadratic forms. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

This thesis deals with the question for possible recurrence relations among Fourier coefficients of a certain class of mock modular forms. The most prominent examples of such Fourier coefficients are the Hurwitz class numbers of binary quadratic forms, which satisfy many well-known recurrence relations. As examples one should mention the Kronecker-Hurwitz class number relations and the famous Eichler-Selberg trace formula for Hecke operators on spaces of cusp forms. In 1975, H. Cohen conjectured an infinite family of such class number relations which are intimately related to the aforementioned Eichler-Selberg trace formula. In this thesis, I prove Cohen's conjecture and other similar class number formulas using important results from the theory of mock modular forms. By applying a different method I prove at the end that such recurrence relations are a quite general phenomenon for Fourier coefficients of mock theta functions and mock modular forms of weight $\tfrac 32$. As special cases, one gets an alternative proof for the aforementioned class number relations.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Die vorliegende Arbeit befasst sich im Wesentlichen mit der Frage nach möglichen Rekursionsbeziehungen zwischen den Fourier-Koeffizienten einer bestimmten Klasse von Mock-Modulformen. Die prominentesten Beispiele solcher Fourier-Koeffizienten sind die Hurwitz-Klassenzahlen binärer quadratischer Formen, für die einige Rekursionen bereits lange bekannt sind. Als Beispiele sind hier unter anderen die Kronecker-Hurwitz-Klassenzahlrelationen sowie die Eichler-Selberg-Spurformel für Hecke-Operatoren auf Räumen von Spitzenformen anzuführen. Im Jahre 1975 vermutete H. Cohen nun eine unendliche Serie von solchen Klassenzahlrelationen, die eng verwandt sind mit der erwähnten Eichler-Selberg-Spurformel. In dieser Arbeit beweise ich Cohen's Vermutung, sowie einige ähnliche Formeln für Klassenzahlen mit Hilfe wichtiger Resultate aus der Theorie der Mock-Modulformen. Mittels einer anderen Methode zeige ich schließlich, dass derlei Rekursionsbeziehungen ein generelles Phänomen für Fourier-Koeffizienten von Mock-Thetafunktionen und Mock-Modulformen vom Gewicht $\tfrac 32$ darstellen. Als Spezial-fälle erhält man aus diesem Resultat alternative Beweise für die oben erwähnten Klassenzahlrelationen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Mertens, Michael Helmut mmertens@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-56865
Date:	2014
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language (mock) modular forms, class number relations, Appell-Lerch sums, holomorphic projection UNSPECIFIED
Date of oral exam:	24 June 2014
Referee:	Name Academic Title Bringmann, Kathrin Prof. Dr. Zwegers, Sander Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/5686