Universität zu Köln

Tattar, Aran ORCID: 0000-0002-6994-6801 (2022). Torsion structures, subobjects and unique filtrations in non-abelian categories. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In this thesis we study torsion theory, subobjects and filtration properties in quasi-abelian, exact and right triangulated categories. All such categegories fit into the larger framework of extriangulated categories. Our work falls into three parts. In the first, we define torsion pairs for quasi-abelian categories and give several characterisations. We show that many of the torsion theoretic concepts translate from abelian categories to quasi-abelian categories. As an application, we generalise the recently defined algebraic Harder-Narasimhan filtrations to quasi-abelian categories. Secondly, we investigate how the concepts of intersection and sums of subobjects carry to exact categories. We obtain a new characterisation of quasi-abelian categories in terms of admitting admissible intersections in the sense of [61]. There are also many alternative characterisations of abelian categories as those that additionally admit admissible sums and in terms of properties of admissible morphisms. We then define a generalised notion of intersection and sum which every exact category admits. Using these new notions, we define and study classes of exact categories that satisfy the Jordan-Hölder property for exact categories, namely the Diamond exact categories and Artin-Wedderburn exact categories. By explicitly describing all exact structures on A = rep Λ for a Nakayama algebra Λ we characterise all Artin-Wedderburn exact structures on A and show that these are precisely the ex act structures with the Jordan-Hölder property. Thirdly, we study right triangulated categories; which can be thought of as triangulated categories whose shift functor is not an equivalence. We give intrinsic characterisations of when such categories have a natural extriangulated structure and are appearing as the (co-)aisle of a (co-)t-structure in an associated triangulated category.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language In diese Doktorarbeit untersuchen wir Torsiontheorie, Unterobjekte und Filtrierungeigenschaften in quasi-abelschen, exakten und rechtstriangulierten Kategorien. Alle derartige Kategorien passen in den großeren Rahmen der sogenannten ‘extriangulatierten’ Kategorien. Unsere Arbeit ist in drei Teile aufgeteilt. In die Erste definieren wir Torsionpaare für quasi-abelsche Kategorien und präsentieren verschiedene Charakterisierungen. Wir zeigen, dass sich viele Konzepte der Torsiontheorie direkt aus abelschen Kategorien in quasi-abelsche Kategorien übertragenlassen. Als Anwendung generalisieren wir die kurzlich definierten algebraischen Harder-Narasimhan Filtrierungen auf quasi-abelsche Kategorien. Zweitens untersuchen wir, wie sich die Konzepte der Schnittmengen und Summen von Unterobjekten in exakte Kategorien übersetzen lassen. Wir erhalten eine neue Charakterisierung von quasi-abelschen Kategorien bez¨uglich ‘admissible’ Schnittmengen im Sinne von [61] sowie alternative Charakterisierungen abelscher Kategorien als genau diese Kategorien, die zusätzlich admissible Summen unterstützen, sowie in Bezug auf ‘admissible’ Morphismen. Wir f¨uhren eine generalisierte Vorstellung von Schnittmenge und Summe des Unterobjekte ein, die in jeder exakten Kategorie funktionieren. Mit diesen definieren und untersuchen wir exakten Kategorien, die die Jordan-Hölder Eigenschaft besitzen, nämlich die ‘Diamond’ und Artin-Wedderburn exakten Kategorien. Indem wir ausdr¨ucklich jede exakte Struktur auf A = rep Λ für eine Nakayama Algebra Λ beschreiben, charakterisieren wir alle Artin-Wedderburn exakten Strukturen auf A und zeigen, dass diese genau die exact Strukturen sind, die die Jordan-Hölder Eigenschaft aufweisen. Im dritten Teil untersuchen wir rechtstriangulierte Kategorien; diese kann man sich als triangulierte Kategorien vorstellen, deren die Shiftfunktor keine Äquivalenz ist. Wir geben intrinische Charakterisierungen, wann solche Kategorien ein natürliche extriangulatierte Struktur haben und als eine (Co-)Aisle von einer (Co-)-t-struktur in einer verknüpften triangulierten Kategorie vorkommen. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Tattar, Aran atattar@gmail.com orcid.org/0000-0002-6994-6801 UNSPECIFIED
Contributors:	Contribution Name Email Author Tattar, Aran atattar@uni-koeln.de
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-610138
Date:	12 April 2022
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Torsion structures, subobjects, abelian, quasi-abelian, triangulated, extriangulated, exact, Harder-Narasimhan English
Date of oral exam:	22 March 2022
Referee:	Name Academic Title Schroll, Sibylle Prof. Dr Littelmann, Peter Prof. Dr Palu, Yann Prof. Dr
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/61013