Universität zu Köln

Gareis, Stephan (2015). L^2-Cohomology of Coverings of q-convex Manifolds and Stein Spaces. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

We are interested in the $L^2$ cohomology groups of coverings of different geometric objects. \\ In the first part we are dealing with a non-compact manifold with boundary $X$ that admits a free, holomorphic and properly discontinuous group action of a discrete group $\Gamma$ such that the orbit space $\widetilde{X} = \quotient{X}{\Gamma}$ is a compact $q$-convex manifold with boundary. Assume furthermore that there is a holomorphic $\Gamma$-invariant holomorphic line bundle $E$. We show that the $\Gamma$-dimension of the $L^2$-cohomology groups $H^{0,j}_{(2)}(X,E)$ is finite if $j>q$. \\ In the second part we are dealing with infinite coverings of a relatively compact pseudoconvex domain $X$ in a normal Stein space with isolated singularities that are generated by a group action of a discrete group $\Gamma$. We assume that the group action is again free, holomorphic and properly discontinuous. We show that the space of $L^2$ holomorphic functions on $X$ has infinite $\Gamma$-dimension.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Wir untersuchen die $L^2$-Kohomologie Gruppen überlagerter geometrischer Objekte. \\ Im ersten Teil behandeln wir den Fall einer nicht-kompakten Mannigfaltigkeit mit Rand $X$, die eine freie, holomorphe und eigentlich diskontinuirliche Gruppenwirkung einer diskreten Gruppe $\Gamma$ zulässt derart, dass der Quotient nach der Gruppenwirkung $\widetilde{X} = \quotient{X}{\Gamma}$ eine kompakte $q$-konvexen Mannigfaltigkeit mit Rand ist. Ebenfalls setzen wir voraus, dass ein $\Gamma$-invariantes holomorphes Geradenbündel $E$ auf $X$ existiert. Wir zeigen, dass die $L^2$-Kohomologie Gruppen $H^{0,j}_{(2)}(X,E)$ endliche $\Gamma$-Dimension haben sofern die Ungleichung $j>q$ gilt. \\ Im zweiten Teil behandeln wir den Fall einer unendlichen Überlagerung eines relativ kompakten pseudokonvexen Gebietes $X$ in einem normalen Stein Raum mit isolierten Singularitäten, die durch eine Gruppenwirkung einer diskreten Gruppe $\Gamma$ erzeugt wird. Die Gruppenwirkung wird dabei als frei, holomorph und eigentlich diskontinuierlich vorausgesetzt. Wir zeigen, dass der Raum der $L^2$-holomorphen Funktionen auf $X$ unendliche $\Gamma$-Dimension hat. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Gareis, Stephan stephan.gareis@googlemail.com UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-62544
Date:	2015
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language L^2 Cohomology English Stein Spaces English q-convex manifolds English
Date of oral exam:	26 June 2015
Referee:	Name Academic Title Marinescu, George Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6254