Universität zu Köln

Lange, Christian (2016). Some results on orbifold quotients and related objects. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The quotient of a finite-dimensional Euclidean space by a finite linear group inherits different structures from the initial space, e.g. a topology, a metric and a piecewise linear structure. The question when such a quotient is a manifold leads to the study of finite groups generated by reflections and rotations, i.e. by orthogonal transformations whose fixed point subspace has codimension one or two. We classify such groups and thereby complete earlier results by M. A. Mikhaîlova from the 70s and 80s. Moreover, we show that a finite group is generated by reflections and) rotations if and only if the corresponding quotient is a Lipschitz-, or equivalently, a piecewise linear manifold (with boundary). For the proof of this statement we show in addition that each piecewise linear manifold of dimension up to four on which a finite group acts by piecewise linear homeomorphisms admits a compatible smooth structure with respect to which the group acts smoothly. This solves a challenge by Thurston and confirms a conjecture by Kwasik and Lee. In the topological category a counterexample to the above mentioned characterization is given by the binary icosahedral group. We show that this is the only counterexample up to products. In particular, we answer the question by Davis of when the underlying space of an orbifold is a topological manifold. As a corollary of our results we generalize a fixed point theorem by Steinberg on unitary reflection groups to finite groups generated by reflections and rotations. As an application thereof we answer a question by Petrunin on quotients of spheres.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Der Quotient eines endlichdimensionalen euklidischen Raums nach einer endlichen linearen Gruppe erbt verschiedene Strukturen vom ursprünglichen Raum, z.B. eine Topologie, eine Metrik und eine stückweise lineare Struktur. Die Frage, wann ein solcher Quotient eine Mannigfaltigkeit ist, führt auf das Studium von Gruppen, die von Spiegelungen und Drehungen erzeugt werden, d.h. von orthogonalen Transformationen deren Fixpunktunterraum ein- oder zweidimensional ist. Wir klassifizieren derartige Gruppen und vervollständigen damit frühere Ergebnisse von M. A. Mikhailova aus den 70ern und 80ern. Wir zeigen ferner, dass eine endliche Gruppe genau dann von (Spiegelungen und) Drehungen erzeugt wird, wenn der zugehörige Quotient eine Lipschitz-, oder äquivalent, eine stückweise lineare Mannigfaltigkeit (mit Rand) ist. Für den Beweis dieser Aussage zeigen wir zudem, dass jede stückweise lineare Mannigfaltigkeit in Dimension kleiner gleich vier, auf der eine endliche Gruppe durch stückweise lineare Homöomorphismen wirkt, eine kompatible differenzierbare Struktur zulässt, bezüglich derer die Gruppe glatt wirkt. Dies löst eine Herausforderung von Thurston und bestätigt eine Vermutung von Kwasik und Lee. In der topologischen Kategorie liefert die binäre Ikosaedergruppe ein Gegenbeispiel zu der oben genannten Charakterisierung. Wir zeigen, dass dieses bis auf Produkte das einzige Gegenbeispiel ist. Insbesondere beantworten wir damit die Frage von Davis, wann der zugrunde liegende Raum einer Orbifaltigkeit eine topologische Mannigfaltigkeit ist. Als Korollar unserer Ergebnisse verallgemeinern wir einen Fixpunktsatz von Steinberg über unitäre Reflektionsgruppen auf endliche von Spiegelungen und Drehungen erzeugte Gruppen. Als Anwendung davon beantworten wir eine Frage von Petrunin über Quotienten von Sphären. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Lange, Christian clange@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-67595
Date:	25 May 2016
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language orbifold quotients, finite orthogonal groups, manifolds with geometric structures, smoothings English
Date of oral exam:	19 April 2016
Referee:	Name Academic Title Lytchak, Alexander Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6759