Universität zu Köln

Kegel, Marc (2016). Legendrian knots in surgery diagrams and the knot complement problem. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The famous knot complement theorem by Gordon and Luecke states that two knots in the 3-sphere are equivalent if and only if their complements are homeomorphic. By contrast, this does not hold for links in the 3-sphere or for knots in general 3-manifolds. In this thesis the same questions are studied for Legendrian and transverse knots and links. The main results are that Legendrian as well as transverse knots in the 3-sphere with the unique tight contact structure are equivalent if and only if their exteriors are contactomorphic, where the exteriors of the transverse knots have to be sufficiently large. I will also present Legendrian links in the tight contact 3-sphere and Legendrian knots in general contact manifolds that are not determined by their exteriors. It will turn out that these questions are closely related to the existence of cosmetic contact surgeries, i.e. contact surgeries that do not change the contact manifold. These are studied with new formulas for computing the classical invariants of Legendrian and transverse knots in the complements of surgery links. Another application of cosmetic contact surgeries is that one can switch the crossing type of a given Legendrian or transverse knot by contact surgery without changing the contact manifold. It follows that every Legendrian or transverse knot admits a contact surgery description to an unknot. This yields connections of the classical invariants of Legendrian and transverse knots to the unknotting information of the underlying topological knot type.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Der berühmte Satz über das Knotenkomplement von Gordon und Luecke besagt, dass zwei Knoten in der 3-Sphäre genau dann äquivalent sind, wenn ihre Komplemente homöomorph sind. Im Gegensatz dazu gilt dies nicht für Verschlingungen in der 3-Sphäre und für Knoten in allgemeinen 3-Mannigfaltigkeiten. In dieser Doktorarbeit werden die gleichen Fragen für Legendre- und transversale Knoten und Verschlingungen untersucht. Die Hauptresultate sind, dass sowohl Legendre- als auch transversale Knoten in der 3-Sphäre mit ihrer eindeutigen straffen Kontaktstruktur genau dann äquivalent sind, wenn ihre Außenräume kontaktomorph sind, wobei die Außenräume der transversalen Knoten hinreichend groß sein müssen. Außerdem werde ich Legendre-Verschlingungen in der straffen Kontakt-3-Sphäre und Legendre-Knoten in allgemeinen Kontaktmannigfaltigkeiten präsentieren, die nicht durch ihre Außenräume bestimmt sind. Es wird sich herausstellen, dass diese Fragen eng verknüpft sind mit der Existenz von kosmetischen Kontaktchirurgien, d.h. Kontaktchirurgien, welche die Kontaktmannigfaltigkeit nicht ändern. Um diese zu untersuchen, werden neue Formeln hergeleitet, um die klassischen Invarianten von Legendre- und transversalen Knoten in den Komplementen von Chirurgie-Verschlingungen zu berechnen. Eine weitere Anwendung von kosmetischen Kontaktchirurgien ist, dass man mit diesen den Kreuzungstyp eines gegebenen Legendre- oder transversalen Knotens wechseln kann, ohne dabei die Kontaktmannigfaltigkeit zu ändern. Daraus folgt, dass jeder Legendre- oder transversale Knoten eine Kontaktchirurgiebeschreibung zu einem Unknoten besitzt. Dies führt zu Zusammenhängen zwischen den klassischen Invarianten von Legendre- und transversalen Knoten und den Entknotungsinformationen des zugrunde liegenden topologischen Knotentyps. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Kegel, Marc mkegel@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-73960
Date:	10 November 2016
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Surgery UNSPECIFIED Legendrian Knots UNSPECIFIED Contact manifolds UNSPECIFIED
Date of oral exam:	11 January 2017
Referee:	Name Academic Title Geiges, Hansjörg Prof. Dr. Sabatini, Silvia Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/7396