Stability of the Solitary Manifold of the Sine-Gordon Equation - Kölner UniversitätsPublikationsServer

Mashkin, Timur (2016). Stability of the Solitary Manifold of the Sine-Gordon Equation. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

We study the sine-Gordon equation $\theta_{tt}-\theta_{xx}+\sin \theta= F(\varepsilon,x)$, in the presence of a small forcing term $F(\varepsilon,x)$, where $t,x \in \mathbb{R}$ and $\varepsilon$ is a small parameter. The equation without the perturbation ($F(\varepsilon,x)=0$) admits soliton solutions which define a two dimensional (classical) solitary manifold. In the first three parts of this work, we consider different types of forcing terms $F(\varepsilon,x)$ and establish stability results for the corresponding initial value problems with initial state close to the solitary manifold. In the fourth part, we construct implicitly a virtual solitary manifold by iterative deformation of the classical solitary manifold. We prove a stability result of higher accuracy for an initial value problem (with nontrivial forcing term $F(\varepsilon,x)$) and with initial state close to the virtual solitary manifold. The approach is based on the Lyapunov energy method, symplectic projection in Hilbert space onto virtual/classical solitary manifold, and modulation equations for the parameters of the projection.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated abstract:

Abstract

Language

Wir betrachten die sine-Gordon Gleichung $\theta_{tt}-\theta_{xx}+\sin \theta= F(\varepsilon,x)$ mit einem kleinen Störungsterm $F(\varepsilon,x)$, wobei $t,x \in \mathbb{R}$ und $\varepsilon$ einen kleinen Parameter darstellt. Die ungestörte sine-Gordon Gleichung ($F(\varepsilon,x)=0$) besitzt Solitonlösungen, welche eine zweidimensionale (klassische) Solitonenmannigfaltigkeit definieren. Wir untersuchen in den ersten drei Teilen dieser Arbeit verschiedene Störungsterme $F(\varepsilon,x)$ und beweisen Stabilitätsaussagen für die entsprechenden Anfangswertprobleme mit Anfangsdaten nahe an der Solitonenmannigfaltigkeit. Im vierten Teil konstruieren wir implizit eine virtuelle Solitonenmannigfaltigkeit, indem wir die klassische Solitonenmannigfaltigkeit sukzessiv verbiegen. Wir beweisen eine Stabilitätsaussage für das Anfangswertproblem (mit einem nicht trivialen Störungsterm $F(\varepsilon,x)$) und mit Anfangsdaten nahe an der virtuellen Solitonenmannigfaltigkeit. Dieses Resultat liefert eine höhere Genauigkeit für die Beschreibung der Lösung. Die Beweise der Stabilitätsaussagen beruhen auf der Lyapunov-Energie-Methode, symplektischen Projektionen in Hilbert Räumen auf die virtuelle bzw. klassische Solitonenmannigfaltigkeit und Modulationsgleichungen für die Parameter der Projektionen.

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