Universität zu Köln

Kühn, Martin Joachim ORCID: 0000-0002-0906-6984 (2018). Adaptive FETI-DP and BDDC methods for highly heterogeneous elliptic finite element problems in three dimensions. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Numerical methods are often well-suited for the solution of (elliptic) partial differential equations (PDEs) modeling naturally occuring processes. Many different solvers can be applied to systems which are obtained after discretization by the finite element method. Parallel architectures in modern computers facilitate the efficient use of diverse divide and conquer strategies. The intuitive approach, to divide a large (global) problem into subproblems, which are then solved in parallel, can significantly reduce the solution time. It is obvious that the solvers on the local subproblems then should deliver the contributions of the global solution restricted to the subdomains of computational region. The class of domain decomposition methods provides widely-used iterative algorithms for the parallel solution of implicit finite element problems. Often, an additional coarse space, which introduces a coupling between the subdomains, is used to ensure a global transport of information between the subdomains across the entire domain. The FETI-DP and BDDC domain decomposition methods are highly scalable parallel algorithms. However, when the parameter or coefficient distribution in the underlying partial differential equation becomes highly heterogeneous, classical methods, with a priori chosen coarse spaces, might not converge in a limited number of iterations. A remedy is offered by problem-dependent coarse spaces. These coarse spaces can be provided by adaptive methods, which then can improve the convergence at the cost of additional constraints. In this thesis, we introduce robust FETI-DP and BDDC methods for three-dimensional problems. These methods incorporate constraints, which are computed from local eigenvalue problems on faces and edges between subdomains, into the coarse space. The implementation of the constraints is performed by a deflation or balancing approach or by partial finite element assembly after a transformation of basis. For the latter, we introduce the generalized transformation-of-basis approach and show its correspondence to a deflation or balancing approach. An efficient parallel implementation of adaptive FETI-DP is discussed in the last part of this thesis. We provide weak and strong parallel scalability results for our adaptive algorithm executed on the supercomputer magnitUDE of the University of Duisburg-Essen. For weak scaling, we can show very good results up to 4,096 cores. We can also present very good strong scaling results up to 864 cores.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Numerische Verfahren sind häufig geeignete Verfahren zur Lösung (elliptischer) partieller Differentialgleichungen (PDGLen), welche natürlich auftretende Prozesse beschreiben. Viele unterschiedliche Löser können dabei auf Systeme angewandt werden, die zuvor durch eine Diskretisierung mittels der Finiten Elemente Methode enstanden. Die parallelen Architekturen in modernen Computern ermöglichen die effiziente Verwendung verschiedenster Teile-und-herrsche-Verfahren. Der intuitive Ansatz, ein großes (globales) Problem in viele kleine Teilprobleme zu zerlegen und diese parallel zu lösen, kann die Rechenzeit immens reduzieren. Es ist klar, dass die lokalen Lösungen dann der globalen Lösung, eingeschränkt auf die zugehörigen Teilgebiete, entsprechen müssen. Die Klasse der Gebietszerlegungsverfahren bietet weitverbreitete iterative Algorithmen zur parallelen Lösung impliziter Finite Elemente Problemstellungen. Häufig werden Grobgitterräume, die die verschiedenen Teilgebiete koppeln, eingeführt, um einen globalen Informationsaustausch zwischen den Teilgebieten zu ermöglichen. Die Gebietszerlegungsverfahren FETI-DP und BDDC sind hochskalierbare parallele Algorithmen. Allerdings ist die Konvergenz des iterativen Verfahrens, in einer begrenzten Anzahl Iterationen, nicht mehr zwangsläufig sichergestellt, wenn die Verfahren mit klassischen Grobgitterräumen auf Probleme mit stark heterogenen Parametern oder Koeffizienten in der zugrundeliegenden Differentialgleichung angewandt werden. Einen Ausweg bieten in diesen Fällen problemabhängige Grobgitterräume. Diese Grobgitterräume können in adaptiven Verfahren berechnet werden und ermöglichen, auf Kosten zusätzlicher Nebenbedingungen, eine schnelle Konvergenz des iterativen Lösers. In dieser Arbeit führen wir robuste FETI-DP und BDDC Verfahren zur Lösung dreidimensionaler Problemstellungen ein. Diese Verfahren integrieren Nebenbedingungen aus lokalen Eigenwertproblemen auf Flächen und Kanten zwischen Teilgebieten in den Grobgitterraum. Die Nebenbedingungen werden entweder mithilfe eines Deflations- oder Balancing-Ansatzes oder mittels partieller Finite Elemente Assemblierung nach einer Transformation der Basis erzwungen. Für letzteres führen wir den verallgemeinerten Transformation-der-Basis Ansatz ein und zeigen seine Korrespondenz zum Deflations- und Balancing-Ansatz. Eine effiziente parallele Implementierung des adaptiven FETI-DP Verfahrens wird im letzten Teil der Arbeit diskutiert. Wir stellen Ergebnisse der schwachen und starken parallelen Skalierbarkeit für unseren Algorithmus vor, der auf dem Supercomputer magnitUDE der Universität Duisburg-Essen ausgeführt wurde. Wir können sehr gute Resultate der schwachen Skalierbarkeit bis hin zu 4096 Kernen zeigen. Zur starken Skalierbarkeit können sehr gute Ergebnisse für bis zu 864 Kerne gezeigt werden. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Kühn, Martin Joachim martinjkuehn@web.de orcid.org/0000-0002-0906-6984 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-82344
Date:	16 February 2018
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Natural sciences and mathematics Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language FETI-DP UNSPECIFIED BDDC UNSPECIFIED Domain decomposition English Gebietszerlegung German Finite elements English Finite Elemente German Adaptive UNSPECIFIED Coarse spaces English heterogeneous English elliptic English second order English partial differential equations English numerical analysis English HPC English high performance computing English scientific computing English Hochleistungsrechnen German three dimensions English eigenvalue problems English Eigenwertprobleme German éléments finis French décomposition des domaines French adaptatif French linear elasticity English structural mechanics English almost incompressible English Numerische Mathematik German Wissenschaftliches Rechnen German Dual-Primal English Finite Element Tearing and Interconnecting English Balancing Domain Decomposition English Balancing Domain Decomposition by Constraints English constraints English adaptive constraints English adaptive coarse spaces English automatic coarse spaces English
Date of oral exam:	20 April 2018
Referee:	Name Academic Title Klawonn, Axel Prof. Dr. Rheinbach, Oliver Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/8234