Universität zu Köln

Reinecke, Christian (2018). Hallalgebren zahmer Gattungen. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

Quantengruppen stehen seit Ende der 80-er Jahre im Mittelpunkt der modernen Darstellungstheorie und spielen eine wichtige Rolle bei Anwendungen in der mathematischen Physik. Sie sind q-Deformationen der universellen, einhüllenden Algebra einer Kac-Moody-Liealgebra und tragen die Struktur einer Hopfalgebra. In engem Zusammenhang zu Quantengruppen stehen Hallalgebren erblicher Kategorien und beschreiben deren Hopfstruktur. Sie wurden Ende der 80-er Jahre von Ringel eingeführt und haben seitdem für viel Aufmerksamkeit gesorgt. Zum Beispiel ist die Kompositionsalgebra der Kategorie der endlichdimensionalen Darstellungen des Kroneckerköchers zum positiven Teil der Quantengruppe der Kac-Moody-Liealgebra des Typs affin A_1^1 isomorph. Dies erlaubte es Burban und Schiffmann, einige bekannte Resultate über genannte Quantengruppe "konzeptuell" herzuleiten. Dieser Zusammenhang ist für Liealgebren mit symmetrischer Cartanmatrix auf der einen Seite bzw. für Köcher mit einfachen Kanten auf der anderen Seite gut verstanden und z.B. von Schiffmann detailliert beschrieben worden. Für Liealgebren symmetrisierbarer Cartanmatrizen bzw. für Gattungen ist der Zusammenhang weniger erforscht, obwohl Gattungen und ihre Darstellungstheorie bereits in den 70-er Jahren von Dlab und Ringel beschrieben wurden. Für die Verallgemeinerung auf symmetrisierbare Cartanmatrizen sind in dieser Dissertation folgende Ergebnisse beschrieben: i) Für Cartanmatrizen von endlichem oder affinem Typ entsprechen die Lusztigschen Symmetrien den Spiegelungsfunktoren von Bernstein, Gelfand und Ponomarev. ii) Die Kompositionsalgebra für Gattungen vom Dynkintyp oder Euklidischem Typ enthält alle präprojektiven und alle präinjektiven Darstellungen sowie geeignete Summen regulärer Elemente. Für eine Verallgemeinerung der Resultate von Burban und Schiffmann auf die Liealgebra vom Typ affin A_1^2 werden erste Ergebnisse erzielt.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Hall algebras of tame species English
Translated abstract:	Abstract Language Since the end of the 1980s, the study of quantum groups has been a major focus within the field of modern representation theory and they play an important role for applications in mathematical physics. They are a q-deformation of the universal enveloping algebra of a Kac-Moody Lie algebra and are endowed with the structure of a Hopf algebra. Hall algebras of hereditary categories are closely related to quantum groups and explain their Hopf structure. They were introduced in the late 1980s by Ringel and have been drawing much attention since then. For example, the composition (Hall) algebra of the Kronecker quiver is isomorphic to the positive part of the quantum group of the Kac-Moody Lie algebra of type affine A_1^1. This allowed Burban and Schiffmann to develop some known results about in a more conceptual way. For a symmetric Cartan matrix, the connection between the composition algebra of its simply laced quiver and the quantum group of its associated Kac-Moody Lie algebra is well-understood. However, this connection was much less developed for non-symmetric Cartan matrices. Instead of simply laced quivers, species are involved and were described by Dlab und Ringel. Hence, the main purpose of this thesis is to study the more general objects and the following results have been established: i) For Cartan matrices of finite or affine type, the symmetries of the quantum group introduced by Lusztig correspond to the reflection functors by Bernstein, Gelfand and Ponomarev. ii) The composition algebra for species of Dynkin or Euclidean type contains all preprojective and all preinjective representations, as well as certain sums of regular elements. Using the approach of Burban an Schiffmann, some initial results for the Kac-Moody Lie algebra of type affine A_1^2 are presented as well. English
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Reinecke, Christian UNSPECIFIED UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-83368
Date:	28 June 2018
Language:	German
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Hallalgebra; Quantengruppe; Spiegelungsfunktor; Darstellungstheorie; Köcher; Gattung; Kac-Moody Liealgebra German Hall algebra; quantum group; reflection functor; representations theory; quiver; species; Kac Moody Lie algebra English
Date of oral exam:	12 December 2017
Referee:	Name Academic Title Burban, Igor Prof. Dr. Littelmann, Peter Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/8336