Starke Gesetze der großen Zahlen bei blockweisen Unabhängigkeitsbedingungen

Brüggemann, Dirk (2003). Starke Gesetze der großen Zahlen bei blockweisen Unabhängigkeitsbedingungen. PhD thesis, Universität zu Köln. Open Access

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Abstract

Es ist seit langem bekannt, dass das Starke Gesetz der großen Zahlen (SLLN) für alle Folgen von identisch verteilten und zentrierten Zufallsvariablen gilt, falls diese unabhängig sind. Etemadi verallgemeinerte diese Aussage auf Folgen von paarweise unabhängigen Zufallsvariablen. In dieser Arbeit wird nun gezeigt, dass sich paarweise unabhängige Folgen allerdings bezüglich der Konvergenzraten im SLLN sehr wohl von Folgen von unabhängigen Zufallsvariablen unterscheiden, und sich im Extremfall wie paarweise unkorrelierte Folgen verhalten. Dazu wird ein Gegenbeispiel von Tandori auf den Fall einer allgemeinen Normierung der Partialsummen im SLLN verallgemeinert. In einem zweiten Teil werden Starke Gesetze für Folgen von Zufallsvariablen vorgestellt, bei denen die Folge in Blöcke aufgeteilt werden kann, so dass die Abhängigkeitsstrukturen zwischen verschiedenen Blöcken bekannt sind, während über die Abhängigkeiten innerhalb der Blöcke keine Annahmen getroffen werden. Durch Verallgemeinerung der Gegenbeispiele aus dem ersten Teil der Arbeit wird gezeigt, dass die erzielten Ergebnisse in einem gewissen Sinne bestmöglich sind.

Item Type:

Thesis (PhD thesis)

Translated abstract:

Abstract

Language

The classical Strong Law of Large Numbers (SLLN) states that the arithmetic means of a sequence of independent, identically distributed zero mean random variables converge to zero almost surely. Etemadi has shown that the independence condition may be weakened to pairwise independence. We show that this does not imply the same rates of convergence in the SLLN for both conditions of independence. To prove this, a counterexample of Tandori is generalized, which is then used to show that sequences of pairwise independent random variables may exhibit the convergence properties of sequences of orthogonal random variables. The second part of this work is concerned with sequences of random variables that may be grouped into blocks, such that the blocks satisfy conditions of independence, while the dependence structure within the blocks is arbitrary. Several su cient conditions for the SLLN are exposed, and it is shown by generalization of the results of the first part that the given conditions are optimal in a certain sense.

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