Universität zu Köln

Opper, Sebastian (2019). A surface model for gentle algebras. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The main purpose of this thesis is the study of bounded derived categories of gentle algebras and related problems by means of surface models. In the first chapter we construct surface models for such categories and describe a variety of connections between the triangulated structure of the derived category and the geometry of its associated model. In the subsequent chapter, we study equivalences among generalizations of the aforementioned categories which can be modelled by a surface in a sufficient way. One of the main results of the chapter asserts that we can attach a homeomorphism between the associated surfaces to every such equivalence. Furthermore, we prove that we can study auto-equivalences of a large class of gentle algebras in this way. As another application we obtain a complete derived invariant for gentle algebras. In the final chapter, we apply the theory of surface models to a particular family of gentle algebras arising from algebraic geometry. In particular, we provide an answer to a question raised by Polishchuk: we prove that the group of auto-equivalences of the bounded derived category of coherent sheaves on an arbitrary cycle of projective lines acts transitively on the set of spherical objects.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Der Hauptgegenstand dieser Dissertation ist das Studium beschränkter, abgeleiteter Kategorien sanfter Algebren und verwandter Fragestellungen mit Hilfe von Flächenmodellen. Im ersten Kapitel konstruieren wir eine Fläche zu jeder solchen Kategorie. Anschließend beschreiben wir eine Vielzahl von Zusammenhängen zwischen der triangulierten Struktur der abgeleiteten Kategorie und der Geometrie der zu ihr assoziierten Fläche. Im folgenden Kapitel untersuchen wir Äquivalenzen zwischen Verallgemeinerungen der oben genannten Kategorien, welche durch eine Fläche in hinreichender Weise modelliert werden können. Eines der Hauptresultate des Kapitels besagt, dass wir zu jeder solchen Äquivalenz einen Homöomorphismus zwischen den entsprechenden Flächen konstruieren können. Darüber hinaus beweisen wir, dass sich auf diese Weise die Autoäquivalenzen beschränkter, abgeleiteter Kategorien einer großen Klasse sanfter Algebren studieren lassen. Als eine weitere Anwendung erhalten wir eine abgeleitete Invariante für die Klasse der sanften Algebren, die solche Algebren vollständig bis auf abgeleitete Äquivalenz klassifiziert. Im dritten und letzten Kapitel wenden wir die gezeigten Resultate auf eine bestimmte Familie sanfter Algebren an. Insbesondere geben wir eine partielle Antwort auf eine Frage von Polishchuk: Wir zeigen, dass die Gruppe der Autoäquivalenzen der beschränkten, abgeleiteten Kategorie kohärenter Garben auf einem beliebigen Zykel projektiver Geraden transitiv auf der Menge der sphärischen Objekte wirkt. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Opper, Sebastian UNSPECIFIED UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-96625
Date:	28 May 2019
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Representation theory English Darstellungstheorie German
Date of oral exam:	9 January 2019
Referee:	Name Academic Title Burban, Igor Prof. Dr. Littelmann, Peter Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/9662