Universität zu Köln

Neiss, Robert Axel (2019). The Hamiltonian Vlasov Equation. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The Vlasov system describes the dynamics of large collections of indistinguishable particles, which interact with each other, in a statistical manner. Important examples are electron gas or stellar clusters. In this thesis, we study a general Hamiltonian structure of the Vlasov system. We give a formal guideline to derive a new system, the Hamiltonian Vlasov system, on the space of complex-valued square-integrable functions $\alpha\in \mathcal{L}^{2}$ on the one-particle phase space $\mathbf{R}^{2d}$. This system's key property is that for any solution $t\mapsto\alpha(t)$ of this system, the trajectory $t\mapsto f(t)=|\alpha(t)|^2$ is a solution of the Vlasov system. The only requirement is a sufficiently regular energy functional on a subspace of density functions $f\in\mathcal{L}^1$, greatly generalizing the previous findings of Fröhlich, Knowles, and Schwarz (2009). For this newly obtained Hamiltonian Vlasov system, we prove global well-posedness for the two cases of regular and Coulomb interaction potentials, where the latter yields the famous Vlasov--Poisson system. We exploit a peculiar parallel between the Hamiltonian Vlasov system and the quantum mechanical Hartree system, achieved by a Fourier transform in the velocity coordinates. In the context of this newly obtained Hamilton Hartree system, we establish a mean field limit for the case of non-relativistic kinetic energy and regular two-body interaction. The used method originates from the study of quantum mechanical systems, but allows extension to a classical problem here. Finally, we discuss a general approach for finding periodic solutions bifurcating from equilibrium points of classical Vlasov systems, utilizing the Hamiltonian Vlasov framework, in particular the method of Marsden--Weinstein symmetry reduction.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Die Hamiltonsche Vlasov Gleichung German
Translated abstract:	Abstract Language Ein Vlasov System beschreibt auf statistische Weise die Zeitentwicklung einer großen Zahl von ununterscheidbaren Teilchen, die gegenseitig in Wechselwirkung stehen. Beispiele sind etwa Elektronengase oder Sternenwolken. In dieser Arbeit wird eine Hamiltonsche Struktur für das Vlasov System untersucht. Es wird ein allgemeines Schema entwickelt, mit dessen Hilfe auf dem Raum der komplexwertigen quadratintegrablen Funktionen $\alpha\in\mathcal{L}^2$ auf dem Einteilchenphasenraum $\mathbf{R}^{2d}$ ein neues Hamiltonsches System, genannt das Hamiltonsche Vlasov System, definiert wird. Für jede Lösung $t\mapsto\alpha(t)$ dieses Systems ist dann $t\mapsto f(t)\equiv|\alpha(t)|^2$ eine Lösung des zugehörigen Vlasov Systems. Die einzige Voraussetzung ist die hinreichende Regularität des Energiefunktionals auf einem Unterraum der Dichtefunktionen $f\in\mathcal{L}^1$. Dieses Vorgehen verallgemeinert bekannte Ergebnisse von Fröhlich, Knowles und Schwarz (2009). Für dieses Hamiltonsche Vlasov System wird die globale Wohlgestelltheit des Problems anhand zweier Wechselwirkungspotentiale bewiesen, einer Klasse von regulären Potentialen einerseits, sowie des Coulomb-Potentials, welches zum namhaften Vlasov--Poisson System führt, andererseits. Man nutzt eine strukturelle Parallele zwischen dem Hamiltonschen Vlasov System und dem quantenmechanischen Hartree System, welche durch Anwendung einer Fouriertransformation in den Geschwindigkeitsvariablen offenkundig wird. Anhand dieses neuen Hamiltonschen Hartree Systems wird ein Vielteilchenlimes für den Fall nichtrelativistischer kinetischer Energie und regulärer Wechselwirkung begründet. Die verwendete Methode hat ihren Ursprung in der Quantenmechanik, kann hier aber für den klassischen Fall erweitert werden. Schlussendlich wird ein allgemeiner Ansatz diskutiert, um periodische Lösungen des Vlasov Systems unter Ausnutzung des Hamiltonschen Formalismus -- speziell der Marsden--Weinstein Reduktion -- zu finden. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Neiss, Robert Axel rneiss@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-97117
Date:	13 May 2019
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Vlasov UNSPECIFIED Hamilton UNSPECIFIED
Date of oral exam:	4 June 2019
Referee:	Name Academic Title Kunze, Markus Prof. Dr. Marinescu, George Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/9711