Universität zu Köln

Herrmann, Hendrik (2018). Bergman Kernel Asymptotics for Partially Positive Line Bundles. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

A famous result of Catlin and Zelditch developed in the end of the last century gives a complete description for the following phenomena: Given a positive holomorphic line bundle $L$ over a closed compact complex manifold $M$ the Bergman kernel function $B_k$ for the $k$-th tensor power of $L$ has a full asymptotic expansion. More precisely, $B_k$ can be written as a formal sum $B_k\sim a_0k^n+a_1k^{n-1}+a_2k^{n-2}+a_3k^{n-3}\ldots$, for $k\to\infty$, where the coefficients $a_0,a_1,\ldots$ purely depend on the local geometric data of $X$ and $L$. In that sense, we study the asymptotic behavior of the Bergman kernel function and the related Bergman kernel when $M$ is not necessarily compact, $L$ is only partially positive and the geometric data fail to be smooth. In the first part of this thesis we consider $M$ to be a bounded domain in the Euclidean space and establish a local asymptotically reproducing kernel for square integrable holomorphic functions with respect to a weighted inner product. From this method we deduce that for any non-negative integer $N$ the Bergman kernel and the Bergman kernel function have an asymptotic expansion on some set $M_N$ up to some order less than or equal to $N$. In addition, our method provides an explicit formula for the coefficients in this expansion which holds for any choice of coordinates. In the second part we assume that $M$ is a domain contained in a complete Kähler manifold $X$ and that $L$ can be holomorphically extended to a holomorphic line bundle $L_0$ over $X$. We start with an upper semi-continuous metric on $L$ and consider the set $M_\infty$ consisting of points where the metric of $L$ can be suppressed by positive metrics defined on $L_0$. Using the results obtained in the first part, we prove that the Bergman kernel and the Bergman kernel function have an asymptotic expansion on $M_\infty$ where the order of the expansion is just limited by the regularity of the geometric data.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Ende des letzten Jahrhunderts lieferten Catlin und Zelditch eine vollständige Beschreibung des folgenden Phänomens: Betrachtet man die Bergman-Kern-Funktion $B_k$ des $k$-ten Tensorproduktes eines positiven holomorphen Geradenbündels $L$ über einer kompakten, geschlossenen, komplexen Mannigfaltigkeit $M$, so hat diese Funktion eine asymptotische Entwicklung in $k$, d.h. $B_k$ lässt sich als formale Summe $B_k\sim a_0k^n+a_1k^{n-1}+a_2k^{n-2}+a_3k^{n-3}\ldots$, für $k\to\infty$, schreiben. Hierbei kodieren die Funktionen $a_0,a_1,\ldots$ lokale geometrische Eigenschaften der zugrundeliegenden Objekte $M$ und $L$. In diesem Sinne untersuchen wir sowohl das asymptotische Verhalten der Bergman-Kern-Funktion als auch das Verhalten des zugehörigen Bergman-Kerns für den Fall, dass die Mannigfaltigkeit nicht notwendigerweise kompakt, die Metrik nur teilweise positiv, und die zugrundeliegende Geometrie nicht beliebig regulär ist. Im ersten Teil der Arbeit nehmen wir an, dass $M$ ein beschränktes Gebiet des euklidischen Raums ist und konstruieren einen asymptotisch reproduzierenden Integralkern für quadratintegrable holomorphe Funktionen bezüglich eines beliebigen gewichteten inneren Produkts. Wir zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl $N$ eine offene Teilmenge $M_N$ existiert, auf welcher sowohl der Bergman-Kern als auch die Bergman-Kern-Funktion eine asymptotische Entwicklung bis hin zur Ordnung $N$ besitzen und berechnen die Koeffizienten dieser Entwicklung. Im zweiten Teil der Arbeit nehmen wir an, dass $M$ ein Gebiet einer vollständigen Kähler-Mannigfaltigkeit $X$ ist und dass sich $L$ zu einem holomorphen Geradenbündel $L_0$ über $X$ fortsetzen lässt. Wir beginnen mit einer oberhalbstetigen Metrik auf $L$ und betrachten die Menge $M_\infty$ bestehend aus Punkten, an denen diese Metrik durch positive Metriken auf $L_0$ niedergehalten wird. Wir beweisen dann, dass der Bergman-Kern und die Bergman-Kern-Funktion eine asymptotische Entwicklung auf $M_\infty$ haben. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Herrmann, Hendrik post@hendrik-herrmann.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-98682
Date:	16 July 2018
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language complex manifolds, Bergman kernel, asymptotic expansion UNSPECIFIED
Date of oral exam:	7 September 2018
Referee:	Name Academic Title Marinescu, George Prof. Dr. Sabatini, Silvia Prof. Ph.D.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/9868