Universität zu Köln

Aragonés Soria, Yaiza ORCID: 0000-0002-8880-8957 (2022). Classical restrictions of matrix product states and minimising statistical errors in gate calibration. PhD thesis, Universität zu Köln.

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PDF (PhD Thesis in theoretical physics of Yaiza Aragonés-Soria) Aragones-Soria, Yaiza - PhD Thesis.pdf - Published Version Download (2MB) | Preview

Abstract

This thesis consists of two independent parts. In the first part, we investigate the notion of locality in the context of Matrix Product States (MPS), while in the second part, we minimise the statistical error in a calibration protocol for quantum-gate sets. In the first part of this thesis, we consider an MPS in a one-dimensional lattice and investigate its norm squared amplitudes with respect to a local orthonormal basis. We call this norm the classical restriction of the MPS. Concretely, we ask when the classical restriction of an MPS is quasi-locally Gibbsian, i.e., it is exponentially well approximated by a Gibbs distribution associated with a local Hamiltonian. We prove that the classical restriction of an injective MPS is quasi-locally Gibbsian if the matrices associated with the MPS satisfy a ‘purity’ condition, a condition previously established in the theory of random matrix products. Our result connects two notions of locality: locality of correlations in an MPS and locality of interactions in the Hamiltonian generating the corresponding Gibbs distribution. The proof of our result consists of two steps. First, given an MPS defined on a lattice for which the purity condition holds, we demonstrate that the classical Conditional Mutual Information (CMI) of any connected tripartition of the lattice is rapidly decaying in the width of the middle region. Then, this decaying of the classical CMI is shown to imply that the probability distribution associated with the classical restriction of the MPS is quasi-locally Gibbsian. Within this investigation, we present relevant observations around the purity condition. We research how ‘typical’ the purity condition is by constructing a probabilistic model and showing that, in this model, the purity condition is satisfied in general. Furthermore, we show that violating the purity condition enables a generalised notion of error correction, reinforcing the purity condition’s generic nature. Within the second part of this thesis, we consider a protocol for calibrating quantum-gate sets and implement a statistical analysis to minimise statistical errors. Calibration of quantum gates is a necessary hurdle to overcome on the way to a reliable quantum computer. In a recent paper, a protocol called Gate Set Calibration protocol (GSC) has been introduced and used to extract coherent errors from multi-qubit quantum gates. We build on this study in two ways. First, we take the uncertainty of any measurement in the protocol into account by performing a statistical analysis. Second, we optimise the statistical uncertainty while requiring that the protocol involves only a small number of distinct gates, aiding physical realisability. We numerically demonstrate that, just by adding two more single-qubit gates to GSC, the statistical error produced in the calibration of a CNOT gate is divided by a factor of more than two.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language UNSPECIFIED German
Translated abstract:	Abstract Language Diese Arbeit besteht aus zwei unabhängigen Teilen. Im ersten Teil untersuchen wir den Begriff der Lokalität im Zusammenhang mit Matrizproduktzuständen (MPS, engl. Matrix Product State), während wir im zweiten Teil den statistischen Fehler in einem Kalibrierungsprotokoll für Quantengattersets minimieren. Im ersten Teil dieser Arbeit betrachten wir einen MPS auf einem eindimensionalen Gitter und untersuchen die Norm der quadrierten Amplituden in Bezug auf eine lokale orthonormale Basis. Wir nennen diese Norm die klassische Restriktion des MPS. Konkret stellen wir die Frage, wann die klassische Restriktion eines MPS quasi-lokal Gibbssch ist, d.h. exponentiell gut durch eine Gibbs-Verteilung mit einem lokalen Hamiltonian approximiert ist. Wir beweisen, dass die klassische Restriktion eines injektiven MPS quasi-lokal Gibbssch ist, wenn die mit dem MPS assoziierten Matrizen eine ‘Reinheits’-Bedingung erfüllen, eine Bedingung, die zuvor in der Theorie der zufälligen Matrixprodukte etabliert wurde. Unser Ergebnis verbindet zwei Begriffe von Lokalität: Lokalität von Korrelationen in einem MPS und Lokalität von Wechselwirkungen in dem Hamiltonian, die die entsprechende Gibbs-Verteilung erzeugt. Der Beweis für unser Ergebnis besteht aus zwei Schritten. Zunächst zeigen wir für einen auf einem Gitter definierten MPS, für welchen die Reinheits-Bedingung gilt, dass die bedingte Transinformation (CMI, engl. Conditional Mutual Information) einer beliebigen zusammenhängenden Dreiteilung des Gitters mit der Breite der mittleren Partition schnell abnimmt. Anschließend wird gezeigt, dass dieses Abklingen der klassischen CMI impliziert, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die mit der klassischen Einschränkung des MPS einhergeht, quasi-lokal Gibbssch ist. Im Rahmen dieser Untersuchung stellen wir Beobachtungen rund um die Reinheits-Bedingung vor. Wir untersuchen, wie ‘typisch’ die Reinheits-Bedingung ist, indem wir ein probabilistisches Modell konstruieren und zeigen, dass in diesem Modell die Reinheits-Bedingung im Allgemeinen erfüllt ist. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Verletzung der Reinheits-Bedingung einen verallgemeinerten Begriff der Fehlerkorrektur im virtuellen Raum ermöglicht, was den generischen Charakter der Reinheits-Bedingung unterstreicht. Im zweiten Teil dieser Arbeit betrachten wir ein Protokoll zur Kalibrierung von Quantengattersets und führen eine statistische Analyse durch, um statistische Fehler zu minimieren. Die Kalibrierung von Quantengattern ist eine notwendige Hürde auf dem Weg zu einem zuverlässigen Quantencomputer. In einer kürzlich erschienenen Arbeit wurde das QuantengattersetKalibrierungsprotokoll (GSC, engl. Gate Set Calibration protocol) vorgestellt und verwendet, um kohärente Fehler aus multi-qubit Quantengattern zu extrahieren. Wir bauen auf dieser Studie in zweierlei Hinsicht auf. Erstens berücksichtigen wir die Unsicherheit jeder Messung im Protokoll, indem wir eine statistische Analyse durchführen. Zweitens optimieren wir die statistische Unsicherheit, während wir gleichzeitig verlangen, dass das Protokoll nur eine geringe Anzahl von unterschiedlichen Gattern umfasst, was die physikalische Realisierbarkeit fördert. Wir zeigen numerisch, dass der statistische Fehler, der bei der Kalibrierung eines CNOTGatters entsteht, um mehr als den Faktor zwei verringert wird, wenn man nur zwei weitere 1-Qubit-Gatter zum GSC hinzufügt. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Aragonés Soria, Yaiza yaiza.aragonessoria@gmail.com orcid.org/0000-0002-8880-8957 UNSPECIFIED
Contributors:	Contribution Name Email Thesis advisor Gross, David david.gross@thp.uni-koeln.de Reviewer Bulla, Ralph rbulla@uni-koeln.de
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-610884
Date:	12 April 2022
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Physics > Institute for Theoretical Physics
Subjects:	General statistics Natural sciences and mathematics Mathematics Physics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Classical restrictions English matrix product states UNSPECIFIED statistical error UNSPECIFIED gate calibration UNSPECIFIED
Date of oral exam:	12 April 2022
Referee:	Name Academic Title Gross, David Professor Bulla, Ralph Professor Schilke, Peter Professor
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/61088