Gnedin, Wassilij (2016). Tame matrix problems in Lie theory and commutative algebra. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

In this thesis we solve several classification problems from Lie theory and commutative algebra. In the main part of this thesis, we study Harish-Chandra modules of some classical Lie groups of real rank one. In the case of the Gelfand quiver, which is related to Harish-Chandra modules over the Lie group SL(2,R), we construct all indecomposable nilpotent representations. We compute their projective resolutions, contragredient duals and basic homological invariants. We give further an explicit description of the Auslander-Reiten translation on the derived category of the Gelfand quiver. For Khoroshkin quivers, which correspond to Lorentz groups of type SO(n,1) or their identity components, we give an intrinsic description of the derived Auslander-Reiten translation and characterize the tau-periodic objects in the derived category. In the more general setup of nodal orders, we give a homological characterization of the indecomposable objects in the derived category. At last, we reduce the problem to classify the indecomposable modules over any nodal order to a matrix problem. In the shorter part of this thesis, we study Cohen-Macaulay modules over some non-reduced curve singularities. We prove that the rings k[|x,y|]/(xy, y^n - z²) have tame Cohen-Macaulay representation type. For the singularity k[|x,y|]/(xy, z²) we give an explicit description of all indecomposable Cohen-Macaulay modules and apply the obtained classification to construct families of indecomposable matrix factorizations of the potential x²y² from the ring k[|x,y|].

Item Type: Thesis (PhD thesis)
Translated title:
TitleLanguage
Zahme Matrixprobleme in Lie-Theorie und kommutativer AlgebraGerman
Translated abstract:
AbstractLanguage
In der vorliegenden Dissertation lösen wir diverse Klassifikationsprobleme der Lie-Theorie und kommutativen Algebra. Im Hauptteil dieser Dissertation untersuchen wir Harish-Chandra Moduln von klassischen Lie-Gruppen von reellem Rang eins. Im Fall des Gelfand-Köchers, der in Verbindung zu Harish-Chandra Moduln der Lie-Gruppe SL(2,R) steht, konstruieren wir alle unzerlegbaren nilpotenten Darstellungen. Wir berechnen ihre projektiven Auflösungen, kontragradienten Duale und ihre wesentlichen homologischen Invarianten. Weiterhin geben wir eine explizite Beschreibung der Auslander-Reiten Translation in der abgeleiteten Kategorie des Gelfand-Köchers. Für Khoroshkin-Köcher, die zu Lorentz-Gruppen vom Typ SO(n,1) oder deren Einheitskomponenten korrespondieren, geben wir eine intrinsische Beschreibung der abgeleiteten Auslander-Reiten Translation und charakterisieren die tau-periodischen Objekte in der abgeleiteten Kategorie. In der allgemeineren Situation der nodalen Ordnungen geben wir eine homologische Charakterisierung der unzerlegbaren Objekte in der abgeleiteten Kategorie. Zuletzt reduzieren wir das Problem der Klassifikation aller unzerlegbaren Moduln einer beliebigen nodalen Ordnung auf ein Matrixproblem. Im kürzeren Teil dieser Dissertation untersuchen wir Cohen-Macaulay Moduln über nicht-reduzierten Kurven-Singularitäten. Wir beweisen, dass die Ringe k[|x,y|]/(xy, y^n - z²) zahmen Cohen-Macaulay Darstellungstyp haben. Für die Singularität k[|x,y|]/(xy, z²) geben wir eine explizite Beschreibung aller unzerlegbaren Cohen-Macaulay Moduln und benutzen die dadurch gewonnene Klassifikation um Familien von unzerlegbaren Matrix-Faktorisierungen des Potentials x²y² des Ringes k[|x,y|] zu konstruieren.German
Creators:
CreatorsEmailORCID
Gnedin, Wassilijgnedin@math.uni-stuttgart.deUNSPECIFIED
URN: urn:nbn:de:hbz:38-66975
Subjects: Mathematics
Uncontrolled Keywords:
KeywordsLanguage
representation theoryEnglish
DarstellungstheorieGerman
Faculty: Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions: Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Mathematical Institute
Language: English
Date: 11 April 2016
Date of oral exam: 27 November 2015
Referee:
NameAcademic Title
Burban, IgorProf. Dr.
Littelmann, PeterProf. Dr.
Refereed: Yes
URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/6697

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