Universität zu Köln

Wierichs, David ORCID: 0000-0002-0983-7136 (2023). Estimation of gradients and analysis of gradient-based optimizers for variational quantum algorithms. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

On its path towards computational advantage, quantum computing hardware still is at an early prototypical stage, not yet allowing the use of error correction codes and algorithms that are provably more performant than their classical competitors. Even so, it might be the case that the current noisy quantum devices can be used for relevant computations that are out of reach for current classical computers, if only for a few specific applications, and without any performance guarantees. The question is thus whether the quantum devices in the near future can be promoted to more than a mere bridge technology, which gave rise to the field of research on noisy intermediate-scale quantum (NISQ) algorithms. A substantial part of these research efforts, and also the main topic of this thesis, concerns variational quantum algorithms (VQAs), which aim at using NISQ devices in a hybrid setup together with classical computers. In such a setup, a computational problem is encoded in terms of an observable, typically a Hamiltonian, such that determining the minimal energy (or the corresponding ground state) would yield the solution. With the purpose of generating candidates for the ground state, a classical computer selects a quantum circuit from a family of circuits and the quantum device executes the circuit to prepare the corresponding state. The family of circuits is typically defined in form of a parametrized quantum circuit (PQC) and a particular circuit can be chosen by fixing its parameters. In return the classical computer receives measurement outcomes of selected observables on the candidate states. The algorithm proceeds by optimizing over the parameter space in order to find for (a useful approximation of) the target state. There are many variants and proposed use cases for VQAs which has led to a modular structure of the algorithms. In this thesis, the first chapter focuses on derivative estimators for objective functions that are based on PQCs, which is a subroutine commonly used in the optimization within VQAs. It begins with a review of (componentwise) differentiation methods for PQC-based objective functions, followed by a detailed comparison of these methods using the example of a ubiquitous class of PQCs. This comparison confirms and complements recent results on the topic and has implications for gradient estimation in practice. The second chapter continues on the theme of gradient estimation for optimization, and covers so-called parameter-shift rules, a particular class of derivative estimators. It starts with a brief review of the literature, followed by an extension of said estimators to a specific class of gates for quantum chemistry calculations, which was published as part of a larger manuscript. The main part of the chapter is a publication about the generalization of the parameter-shift rule to a larger class of quantum gates.It presents derivative estimators for various gates, some of which have been shown in the literature to be optimal, together with a thorough cost analysis for both classical simulators and quantum hardware. The third and final chapter gives a short outline of VQAs and provides the context for a second publication, which analyses different algorithms for the optimization task in VQAs. It compares the quantum natural gradient optimizer (QNG) to two established gradient-based methods from classical non-convex optimization. This is done with numerical experiments, in which QNG shows favourable convergence properties and enhanced robustness against symmetry-breaking PQCs for highly structured problems. This work uses the variational quantum eigensolver (VQE), a popular example of a VQA, on spin chain Hamiltonians as its benchmark problem and the experiments are based on extensive classical simulations. A promising direction for future work is to investigate individual building blocks of the large VQA construct separately and to develop metrics for these blocks that allow to predict their usefulness in practice. This may reduce the complexity of single research efforts and lead to insights that are as modular as VQAs themselves.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated title:	Title Language Gradientenschätzen und Analyse gradientenbasierter Optimierungsalgorithmen für variationelle Quantenalgorithmen German
Translated abstract:	Abstract Language Universelles Quantenrechnen auf fehlerkorrigierenden Rechnern verspricht maßgebliche, beweisbare Vorteile gegenüber klassischen Rechnern. Auf dem Weg zu diesem Ziel befindet sich die heutige Quantentechnologie jedoch noch in der Frühphase. Nichtsdestotrotz könnte es sein, dass die fehlerbehafteten Quantengeräte, die in der nahen Zukunft gebaut werden werden, bereits relevante Berechnungen durchführen können, welche klassische Methoden in ihrer zeitlichen, räumlichen oder Energieeffizienz überbieten. Diese Frage, ob die ersten Quantengeräte neben ihrer Funktion als Brückentechnologie auch für Anwendungen nutzbar sein könnten, begründet die Forschung an sogenannten verrauschten Quantengeräten und -algorithmen der Übergangsgröße (NISQ-Geräte und -Algorithmen). Ein Großteil dieser Forschung behandelt variationelle Quantenalgorithmen (VQA), welche diese Geräte mit klassischen Rechnern zu einer hybriden Technologie verknüpfen. Dabei wird das zu lösende Problem als Observable, üblicherweise als Hamilton-Operator, for- muliert, sodass eine Lösung gefunden würde, indem man den Grundzustand (oder seine Energie) ermittelte. Für die Suche nach einem geeigneten Zustand wählt der klassische Rechner einen Quantenschaltkreis aus einer Schar von Schaltkreisen aus und der Quantenrechner führt diesen aus, um den zugehörigen Zustand herzustellen. Eine solche Schar von Schaltkreisen ist gewöhnlich durch einen parametrisierten Quantenschaltkreis (PQS) gegeben, und die Wahl eines Schaltkreises entspricht einer Konfiguration seiner Parameter. Als Antwort auf eine Konfiguration erhält der klassische Rechner vom Quantengerät die Ergebnisse von Messungen ausgewählter Observablen. Im Anschluss optimiert der variationelle Algorithmus die Parameter anhand der erhaltenen Messwerte, um den Lösungszustand – oder eine hinreichende Näherung dessen – zu erhalten. Mittlerweile gibt es viele Varianten von VQA, die sich durch die verwendeten Teilmethoden sowie ihre Anwendungsfälle unterscheiden und zu einer modularen Struktur der Algorithmen geführt haben. Das erste Kapitel dieser Arbeit behandelt Schätzer für Gradienten von Zielfunktionen, die auf PQS basieren. Dazu wird zu Beginn eine Reihe (komponentenweiser) Schätzer eingeführt und anschließend anhand einer weit verbreiteten Beispielklasse von PQS verglichen. Die Schlussfolgerungen aus diesem Kapitel decken sich mit denen aus aktuellen Forschungsergebnissen und sind von Relevanz für die Praxis des Schätzens von Gradienten für VQA. Das zweite Kapitel führt das Thema der Schätzung von Ableitungen weiter und befasst sich mit Ableitungen durch Parameterrückung, beginnend mit einer Diskussion der Literatur. Der anschließende Teil enthält eine Erweiterung dieser Methode zur Anwendung auf spezifische Quantengatter, die in Rechnungen zur Quantenchemie Verwendungen finden. Den Hauptteil des Kapitels stellt der Abdruck einer Publikation dar, welche weitere Verallgemeinerungen der Ableitung durch Parameterrückung behandelt. Ein besonderer Fokus liegt dabei auf der Analyse der Kosten für diese Schätzer, mit Bezug auf die Verwendung auf klassischen Simulatoren sowie auf Quantengeräten. Das dritte und letzte Kapitel beginnt mit einer kurzen Einführung von VQA, welche den Zusammenhang zu einer zweiten Publikation herstellt. Letztere analysiert eine Reihe von Algorithmen, die in VQA in der Optimierungsphase auf dem klassischen Rechner Verwendung finden. Insbesondere werden anhand von numerischen Experimenten etablierte Methoden der klassischen nicht-konvexen Optimierung und des maschinellen Lernens mit dem Gradientenverfahren mittels des sogenannten natürlichen Gradienten verglichen. Dabei zeigt die spezialisierte Methode, die den natürlichen Gradienten nutzt, ein zu- verlässigeres Verhalten während der Optimierung, indem sie die Konvergenz zu lokalen Minima vermeidet und auch symmetriebrechende Quantenschaltkreise erfolgreich optimiert. Die vorgestellten Experimente untersuchen dabei ein weit verbreitetes Beispiel eines VQA, den variationellen Eigenwertlöser (VQE), angewendet auf Spinkettensysteme als Testproblem. Vielversprechende Themen für die zukünftige Forschung sind zum Einen die Untersuchung einzelner Bausteine von VQA und zum Anderen die Entwicklung akkurater Deskriptoren für diese Bausteine, die eine Vorhersage ihrer Eigenschaften im Kontext des gesamten Algorithmus ermöglichen. Dadurch könnten die Komplexität einzelner Forschungsfragen reduziert und Erkenntnisse ermöglicht werden, die an die modulare Struktur von VQA angepasst sind. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Wierichs, David davidwierichs@gmail.com orcid.org/0000-0002-0983-7136 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-714998
Date:	2023
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Physics > Institute for Theoretical Physics
Subjects:	Physics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Quantum Computing, Variational Quantum Algorithms, Quantum Gradients, Parameter-shift rule, Gradient-based Optimization English Quantenrechnen, variationelle Quantenalgorithmen, Differenzierung von Quantenschaltkreisen, Gradientenbasierte Optimierung German
Date of oral exam:	11 January 2023
Referee:	Name Academic Title Gross, David Prof. Dr. Klesse, Rochus PD Dr.
Funders:	ML4Q Cluster of Excellence
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/71499