Universität zu Köln

Becker, Tilman (2023). On geodesible vector fields and related geometric structures. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

A nowhere vanishing vector field X on a manifold M is called geodesible if there exists a Riemannian metric on M for which X is of unit length and such that the orbits of X are geodesics. After discussing some examples of such vector fields, we extend an existence result of Gluck and Hajduk--Walczak about geodesible vector fields on odd-dimensional manifolds using open books. Furthermore, we provide a construction of geodesible vector fields on round 1-handlebodies and, as an application, prove the existence of geodesible vector fields on a certain family of manifolds not covered by the previous constructions. We provide some new conditions on the sectional or Ricci curvatures of geodesic vector fields on 3-manifolds that are necessary or sufficient for the orthogonal distribution to define a contact structure or foliation. We give sufficient conditions for a geodesible vector field on a 3-manifold to be realisable as the Reeb vector field of a contact form or stable Hamiltonian structure. Specifically, we consider geodesic vector fields on flat 3-manifolds, and show that these vector fields are tangent to a 2-dimensional totally geodesic foliation in case the underlying manifold is a nontrivial quotient of E^3. Using this, we derive a condition in terms of induced contact structures for these vector fields to be realisable as Reeb vector fields, and we show that the underlying contact structure is always universally tight. Finally, we present a detailed proof of a theorem by Scott about the geometrisation of Seifert fibred 3-manifolds. We show further that --- with respect to these geometries --- the fibres are geodesics and that their orthogonal distribution defines a universally tight contact structure if and only if the Euler number is nonzero. In particular, we deduce that a contact structure admitting a Reeb vector field tangent to the fibres of a Seifert fibration is necessarily universally tight.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language Ein nirgends verschwindendes Vektorfeld X auf einer Mannigfaltigkeit M heißt geodisierbar, falls es eine Riemannsche Metrik auf M gibt, bezüglich welcher X von konstanter Länge 1 ist, und so dass die Bahnen von X Geodätische sind. Wir stellen zunächst einige Beispiele solcher Vektorfelder vor und erweitern anschließend ein Existenzresultat von Gluck und Hajduk--Walczak über geodisierbare Vektorfelder auf ungerade-dimensionalen Mannigfaltigkeiten mithilfe von offenen Büchern. Des Weiteren beschreiben wir eine Konstruktion geodisierbarer Vektorfelder auf runden 1-Henkelkörpern, und zeigen damit die Existenz geodisierbarer Vektorfelder auf einer gewissen Familie von Mannigfaltigkeiten, auf welche die vorherigen Konstruktionen nicht anwendbar sind. Anschließend leiten wir einige neue geometrische Bedingungen an die Schnitt- oder Ricci-Krümmungen geodätischer Vektorfelder auf 3-Mannigfaltigkeiten her, die notwendig oder hinreichend dafür sind, dass das orthogonale Ebenenfeld eine Kontaktstruktur oder eine Blätterung definiert. Wir zeigen, unter welchen Bedingungen ein geodisierbares Vektorfelder auf einer 3-Mannigfaltigkeit als Reeb-Vektorfeld einer Kontaktform oder stabilen Hamiltonschen Struktur realisiert werden kann. Insbesondere betrachten wir geodätische Vektorfelder auf flachen 3-Mannigfaltigkeiten und zeigen, dass diese tangential an eine 2-dimensionale total geodätische Blätterung sind, falls die gegebene Mannigfaltigkeit ein nichttrivialer Quotient von E^3 ist. Daraus leiten wir eine Bedingung in Bezug auf induzierte Kontaktstrukturen dafür her, dass ein solches Vektorfeld als Reeb-Vektorfeld einer Kontaktform realisiert werden kann, und zeigen zudem, dass die zugehörige Kontaktstruktur notwendigerweise universell straff ist. Abschließend präsentieren wir einen detaillierten Beweis eines Satzes von Scott über die Geometrisierung Seifert-gefaserter 3-Mannigfaltigkeiten. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Fasern Geodätische bezüglich dieser Geometrien sind, und dass das Ebenenfeld orthogonal zu den Fasern genau dann eine universell straffe Kontaktstruktur definiert, wenn die Euler-Zahl ungleich Null ist. Insbesondere folgern wir, dass eine Kontaktstruktur, die ein Reeb-vektorfeld tangential an eine Seifert-Faserung zulässt, notwendigerweise universell straff ist. German
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Becker, Tilman tibecker@math.uni-koeln.de UNSPECIFIED UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-718213
Date:	2023
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Geodesible vector field English Reeb vector field English Seifert fibration English Open book decomposition English Round handle decomposition English Contact manifold English
Date of oral exam:	6 December 2023
Referee:	Name Academic Title Geiges, Hansjörg Prof. Dr. Sabatini, Silvia Prof. Dr.
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/71821