Löbrich, Steffen (2018). On Divisors, Congruences, and Symmetric Powers of Modular Forms. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

This thesis contains research articles on various topics in the theory of modular forms. First we investigate divisors of meromorphic modular forms of higher level using polar harmonic Maass forms of weight 2. We continue by relating these Maass forms to modular forms associated to imaginary quadratic fields. We show that the Fourier coefficients of these functions are given by traces of singular moduli and compute their regularized inner products. After that we investigate p-adic properties of the Fourier coefficients of generalized eta-quotients. In particular, we show that these coefficients cannot satisfy any linear congruences whose residues do not fulfill certain quadratic equations. Finally we construct polynomials for motivic L-functions that generalize the well-known period polynomials for Hecke eigenforms. We show that these polynomials have almost all of their zeros on the complex unit circle and that the zeros tend to be equidistributed as the level or the weight of the motive are sufficiently large.

Item Type: Thesis (PhD thesis)
Translated title:
TitleLanguage
Über Divisoren, Kongruenzen und symmetrische Potenzen von ModulformenGerman
Translated abstract:
AbstractLanguage
Diese Dissertation umfasst Arbeiten zu verschiedenen Themen aus der Theorie der Modulformen. Als Erstes untersuchen wir Divisoren von meromorphen Modulformen höherer Stufe mithilfe von polaren harmonischen Maaßformen vom Gewicht 2. Danach setzen wir diese Maaßformen setzen in Beziehung zu Modulformen, die imaginär-quadratischen Zahlkörpern zugeordnet sind. Wir zeigen, dass Fourierkoeffizienten dieser Funktionen durch Spuren singulärer Moduln gegeben sind und berechnen ihre regularisierten inneren Produkte. Danach untersuchen wir die p-adischen Eigenschaften der Fourierkoeffizienten von verallgemeinerten Eta-Quotienten. Insbesondere zeigen wir, dass diese Koeffizienten keine linearen Kongruenzen erfüllen können, deren Reste nicht bestimmten quadratischen Gleichungen genügen. Schließlich konstruieren wir Polynome für motivische L-Funktionen von ungeradem motivischen Gewicht, die die bekannten Periodenpolynome für L-Funktionen von Hecke-Eigenformen verallgemeinern. Wir zeigen, dass fast alle Nullstellen dieser Polynome auf dem komplexen Einheitskreis liegen und gegen eine Gleichverteilung streben, falls die Stufe oder das Gewicht des entsprechenden Motivs genügend groß sind.German
Creators:
CreatorsEmailORCID
Löbrich, Steffens.loebrich@uva.nlUNSPECIFIED
URN: urn:nbn:de:hbz:38-81890
Subjects: Mathematics
Uncontrolled Keywords:
KeywordsLanguage
modular formsEnglish
harmonic Maass formsEnglish
Faculty: Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions: Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Mathematical Institute
Language: English
Date: 2018
Date of oral exam: 19 December 2017
Referee:
NameAcademic Title
Bringmann, KathrinProf. Dr.
Zwegers, SanderProf. Dr.
Funders: Deutsche Forschungsgemeinschaft, Fulbright-Kommission
Refereed: Yes
URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/8246

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  • On Divisors, Congruences, and Symmetric Powers of Modular Forms. (deposited 22 Jun 2018 09:29) [Currently Displayed]

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