Saalmann, Aaron (2019). Long-time asymptotics for the massive Thirring model. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

The massive Thirring model (MTM) was introduced in 1958 by the Austrian physicist Walter Thirring in the context of relativistic quantum field theory. It describes the self-interaction of a Dirac field in one space dimension. From the analytical point of view, this system of non-linear partial differential equations is of special interest, because it has a representation in terms of a Lax pair, consisting of two linear operators $L$ and $A$. Thanks to the Lax pair, the MTM admits an exact solution by the inverse scattering transform (IST). Since the dependence of $L$ and $A$ on the spectral parameter $\lambda$ is singular at the origin and at infinity, the IST cannot be defined for initial data of low regularity as straightforward as it is done for other equations, the NLS equation for instance. One key ingredient of the present thesis is to transform the known Lax pair to two equivalent Lax pairs: one is suitable for the spectral parameter at the origin and the other one is suitable at infinity. Using the equivalent operators the direct scattering transform is developed for an optimal $L^2$-based Sobolev space. The inverse scattering map is then formulated in terms of two Riemann--Hilbert problems whose solvability is proven. As it is also known from other nonlinear dispersive equations one can create \emph{solitons} for the MTM. These special solutions are waves that move at constant speed and do not change in shape. They can refuse to disperse only because of the presence of the nonlinearity in the equation. It is relatively simple to characterize solitons, based on their scattering data. Using suitable Riemann-Hilbert techniques it is possible to analyse the interaction of two (or more) solitons. Furthermore, it can be shown precisely that each soliton will eventually enter the light cone $\set{|t|>|x|}$. Using the so-called $\db$--method (nonlinear steepest descent) we show that outside the light cone any solution (not only solitons) converges to zero with a rate of $\sim|t|^{-3/4}$. Inside the light-cone there are basically two different possibilities. Assuming that the initial data is free of solitons we use the $\db$--method and some well-known model Riemann--Hilbert--problems to show that the solution of the MTM scatters to a linear solution modulo phase correction. This linear solution can be computed explicitly from the scattering data and its amplitude decays with a rate of $\sim|t|^{-1/2}$. The second possibility is that the initial data contains finitely many solitons. Then, as the main result of the thesis, we prove that any solution breaks up into finitely many single solitons that travel at different speeds and thus, diverge. The remainder term is $\mathcal{O}(|t|^{-1/2})$.\medskip\\ Summarizing, the present thesis provides an analytical proof of the soliton resolution conjecture for the MTM. This result also implies the asymptotic stability of solitons.

Item Type: Thesis (PhD thesis)
Translated title:
TitleLanguage
Langzeitverhalten des massiven Thirring ModellsGerman
Translated abstract:
AbstractLanguage
Das massive Thirring Modell (MTM) wurde 1958 vom österreichischen Physiker Walter Thirring im Kontext der relativistischen Quantenfeldtheorie eingeführt. Es dient zur mathematischen Beschreibung von wechselwirkenden Fermionen mit Spin 1/2 (also zum Beispiel Elektronen) in einer Raumdimension. Aus analytischer Sicht ist dieses System aus nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen von besonderem Interesse, da es eine Darstellung als Lax-Paar mit zwei linearen Operatoren $L$ und $A$ besitzt und das MTM somit ein integrables System ist. Dies ermöglicht es, das MTM mit Hilfe der inversen Streutransformation (IST) exakt zu lösen. Da die Abhängigkeit der Operatoren $L$ und $A$ vom spektralen Paramter $\lambda$ allerdings Singularitäten im Ursprung und bei Unendlich aufweist, kann die IST nicht ohne Weiteres für Anfangsdaten mit geringer Regularität definiert werden. In der vorliegenden Dissertation werden durch entsprechend gewählte Transformationen zwei äquivalente Lax-Paare gefunden, mit deren Hilfe die IST für einen optimalen $L^2$-basierten Sobolev-Raum konstruiert werden kann. Die Rücktransformation ist anschließend als Riemann-Hilbert-Problem formuliert, dessen Lösbarkeit entsprechend bewiesen wird. Wie viele andere dispersive Gleichungen besitzt auch das MTM sogenannte Solitone als Lösungen. Diese speziellen in ihrer Form unveränderlich bleibenden und sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegenden Wellen können nur auf Grund der vorhandenen Nichtlinearität des MTM existieren. Anhand ihrer Streudaten lassen sie sich auf einfache Weise charakterisieren und mit Hilfe geeigneter Riemann--Hilbert Techniken ist es m\"oglich, zu berechnen, wie zwei (oder mehrere) Solitone wechselwirken. Desweiteren kann präzise gezeigt werden, dass sich alle Solitone nach einer gewissen Zeit innerhalb des Lichtkegels $\set{|t|>|x|}$ befinden. Mit Hilfe der sogenannten $\db$--Methode kann sogar gezeigt werden, dass alle Lösungen (also nicht nur Solitone) außerhalb des Lichtkegels mit einer Rate von $|t|^{-3/4}$ gegen Null konvergieren. Innerhalb des Lichtkegels gibt es zwei mögliche Szenarien, welche in der folgenden Arbeit beide rigoros untersucht werden. Falls die Anfangsdaten frei von Solitonen sind, lässt sich - wiederum mit der $\db$--Methode und bekannten Modell-Riemann--Hilbert-Problemen - zeigen, dass die Lösung des MTM in die Nähe einer Lösung der linearen Dirac-Gleichung (modulo Phasen-Korrektur) kommt. Diese Lösung kann sogar explizit aus den Streudaten errechnet werden und ihre Amplitude selbst fällt mit einer Rate von $\sim|t|^{-1/2}$. Die zweite Möglichkeit ist, dass die Anfangsdaten endlich viele Solitone enthalten. Hier findet dann das Hauptresultat der vorliegenden Arbeit Anwendung. Dieses Resultat besagt, dass sich jede Lösung des MTM für sogenannte generische Anfangswerte auf lange Zeit in endlich viele einzelne Solitone zerlegt, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auseinander bewegen. Der Restterm verschwindet dabei mit einer Rate von $\sim|t|^{-1/2}$. Damit liefert die vorliegende Dissertation einen kompletten analytischen Beweis der sogenannten Soliton-Zerlegungs-Vermutung (soliton resolution conjecture) für das MTM. Außerdem kann das Ergebnis auch als asymptotische Stabilität von Solitonen gedeutet werden.German
Creators:
CreatorsEmailORCID
Saalmann, Aaronasaalmann@gmail.comUNSPECIFIED
URN: urn:nbn:de:hbz:38-96567
Subjects: Mathematics
Uncontrolled Keywords:
KeywordsLanguage
Riemann-Hilbert problemEnglish
Soliton resolutionEnglish
nonlinear steepest descentEnglish
Faculty: Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions: Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Mathematical Institute
Language: English
Date: 2019
Date of oral exam: 9 January 2019
Referee:
NameAcademic Title
Kunze, MarkusProf. Dr.
Refereed: Yes
URI: http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/9656

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