Shen, Wei-Chuan ORCID: 0000-0002-9468-3601 (2024). Semi-classical spectral asymptotics of Toeplitz operators for lower energy forms on non-degenerate compact CR manifolds. PhD thesis, Universität zu Köln.
PDF
Dissertation_Final_Shen.pdf Download (948kB) |
Abstract
H.~Herrmann, C.-Y.~Hsiao, G.~Marinescu und der Autor dieser Arbeit bes-chreiben in einem kürzlich erschienen Artikel die vollständige asymptotische Entwicklung des Schwartz-Kerns bestimmter spektraler Projektionen von semi-klassischen Toeplitz-Operatoren auf streng pseudokonvexen, kompakten, einbettbaren CR-Mannigfaltigkeiten. Eine solche asymptotische Expansion führt zu vielen neuen Anwendungen in der CR-Geometrie, und das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Ergebnis zu verallgemeinern. Dazu betrachten wir eine kompakte, nicht-entartete CR Mannigfaltigkeit \((X,T^{1,0}X)\) mit konstanter Signatur \((n_{-},n_{+})\) und einen selbstadjungierten, klassischen Pseudodifferentialoperator \(P\) erster Ordnung, der den Raum der $(0,q)$-Formen auf $X$ auf sich selbst abbildet. Wir definieren und untersuchen dann sogenannte Levi-elliptische Toeplitz-Operatoren für Formen mit niedriger Energie. Genauer betrachten wir für jedes $\lambda>0$ den Operator $ T_{P,\lambda}^{(q)}:=\Pi_\lambda^{(q)}\circ P\circ \Pi_\lambda^{(q)}. $ Dabei bezeichnet $\Pi_\lambda^{(q)}$ - in Analogie zur Szeg\H{o}-Projektion - die orthogonale Projektion auf Formen niedrigerer Energie ist $\mathds 1_{[0,\lambda]}(\Box_b^{(q)})$ bezü-glich des Kohn-Laplace-Operators \(\Box_b^{(q)}\). Im Fall $q=n_-$, nehmen wir an, dass $P$ levi-elliptisch ist, was bedeutet, dass das matrixwertige Hauptsymbole von $P$ bezogen auf die Signatur $(n_-,n_+)$ einer abgeschwächten Elliptizitätsbedingung genügt. Wir betrachten dann den durch die Helffer--Sjöstrand-formel definierten Spektraloperator \(\chi(k^{-1}T^{(q)}_{P,\lambda})\), $q=n_-$, \(k>0\), bezüglich einer glatten Funktion \(\chi\colon \R\to\C\) mit kompaktem Träger in \(\R\setminus\{0\}\). Unter Verwendung mikroanalytischer Methoden von Hsiao--Marinescu und Galasso--Hsiao untersuchen wir das asymptotische Verhalten von \(\chi(k^{-1}T^{(q)}_{P,\lambda})\) für \(k\to+\infty\). Unser Hauptergebnis beschreibt die vollständige asymptotische Entwicklung des Schwartz-Kerns \(\chi(k^{-1}T^{(q)}_{P,\lambda})(x,y)\) als Summe zweier semi-klassischer oszillierender Integrale komplexer Phasen. Dabei sind die entsprechenden komplexwertigen Phasenfunktionen mit den beiden Zusammenhangskomponenten \(\Sigma^{-}\) bzw. \(\Sigma^{+}\) des charakteristischen Kegels des Kohn-Laplace-Operators assoziiert. Der letzte Teil dieser Arbeit umfasst die gemeinsame Arbeit von C.-Y.~Hsiao und dem dieser Autor über den zweiten Koeffizienten für die Expansion von Boutet de Monvel und Sj\"ostrand. Dieses Ergebnis könnte in Zukunft für die Berechnung von $A_1^\mp(x)$ in der semi-klassischen Expansion von $\chi(k^{-1}T_{P,\lambda}^{(q)})(x,x)$ bei $q=n_-=0$ hilfreich sein.
Item Type: | Thesis (PhD thesis) | ||||||||
Translated abstract: |
|
||||||||
Creators: |
|
||||||||
URN: | urn:nbn:de:hbz:38-735599 | ||||||||
Date: | 2024 | ||||||||
Place of Publication: | Köln | ||||||||
Language: | English | ||||||||
Faculty: | Faculty of Mathematics and Natural Sciences | ||||||||
Divisions: | Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute | ||||||||
Subjects: | Mathematics | ||||||||
Uncontrolled Keywords: |
|
||||||||
Date of oral exam: | 10 July 2024 | ||||||||
Referee: |
|
||||||||
Funders: | Universität zu Köln | ||||||||
Projects: | SFB/TRR 191 “Symplectic Structures in Geometry, Algebra and Dynamics” (Project-ID 281071066-TRR 191) | ||||||||
Refereed: | Yes | ||||||||
URI: | http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/73559 |
Downloads
Downloads per month over past year
Export
Actions (login required)
View Item |