Universität zu Köln

Shen, Wei-Chuan ORCID: 0000-0002-9468-3601 (2024). Semi-classical spectral asymptotics of Toeplitz operators for lower energy forms on non-degenerate compact CR manifolds. PhD thesis, Universität zu Köln.

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Abstract

H.~Herrmann, C.-Y.~Hsiao, G.~Marinescu und der Autor dieser Arbeit bes-chreiben in einem kürzlich erschienen Artikel die vollständige asymptotische Entwicklung des Schwartz-Kerns bestimmter spektraler Projektionen von semi-klassischen Toeplitz-Operatoren auf streng pseudokonvexen, kompakten, einbettbaren CR-Mannigfaltigkeiten. Eine solche asymptotische Expansion führt zu vielen neuen Anwendungen in der CR-Geometrie, und das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Ergebnis zu verallgemeinern. Dazu betrachten wir eine kompakte, nicht-entartete CR Mannigfaltigkeit \((X,T^{1,0}X)\) mit konstanter Signatur \((n_{-},n_{+})\) und einen selbstadjungierten, klassischen Pseudodifferentialoperator \(P\) erster Ordnung, der den Raum der $(0,q)$-Formen auf $X$ auf sich selbst abbildet. Wir definieren und untersuchen dann sogenannte Levi-elliptische Toeplitz-Operatoren für Formen mit niedriger Energie. Genauer betrachten wir für jedes $\lambda>0$ den Operator $ T_{P,\lambda}^{(q)}:=\Pi_\lambda^{(q)}\circ P\circ \Pi_\lambda^{(q)}. $ Dabei bezeichnet $\Pi_\lambda^{(q)}$ - in Analogie zur Szeg\H{o}-Projektion - die orthogonale Projektion auf Formen niedrigerer Energie ist $\mathds 1_{[0,\lambda]}(\Box_b^{(q)})$ bezü-glich des Kohn-Laplace-Operators \(\Box_b^{(q)}\). Im Fall $q=n_-$, nehmen wir an, dass $P$ levi-elliptisch ist, was bedeutet, dass das matrixwertige Hauptsymbole von $P$ bezogen auf die Signatur $(n_-,n_+)$ einer abgeschwächten Elliptizitätsbedingung genügt. Wir betrachten dann den durch die Helffer--Sjöstrand-formel definierten Spektraloperator \(\chi(k^{-1}T^{(q)}_{P,\lambda})\), $q=n_-$, \(k>0\), bezüglich einer glatten Funktion \(\chi\colon \R\to\C\) mit kompaktem Träger in \(\R\setminus\{0\}\). Unter Verwendung mikroanalytischer Methoden von Hsiao--Marinescu und Galasso--Hsiao untersuchen wir das asymptotische Verhalten von \(\chi(k^{-1}T^{(q)}_{P,\lambda})\) für \(k\to+\infty\). Unser Hauptergebnis beschreibt die vollständige asymptotische Entwicklung des Schwartz-Kerns \(\chi(k^{-1}T^{(q)}_{P,\lambda})(x,y)\) als Summe zweier semi-klassischer oszillierender Integrale komplexer Phasen. Dabei sind die entsprechenden komplexwertigen Phasenfunktionen mit den beiden Zusammenhangskomponenten \(\Sigma^{-}\) bzw. \(\Sigma^{+}\) des charakteristischen Kegels des Kohn-Laplace-Operators assoziiert. Der letzte Teil dieser Arbeit umfasst die gemeinsame Arbeit von C.-Y.~Hsiao und dem dieser Autor über den zweiten Koeffizienten für die Expansion von Boutet de Monvel und Sj\"ostrand. Dieses Ergebnis könnte in Zukunft für die Berechnung von $A_1^\mp(x)$ in der semi-klassischen Expansion von $\chi(k^{-1}T_{P,\lambda}^{(q)})(x,x)$ bei $q=n_-=0$ hilfreich sein.

Item Type:	Thesis (PhD thesis)
Translated abstract:	Abstract Language A recent result of H.~Herrmann, C.-Y.~Hsiao, G.~Marinescu and the author establishes the full asymptotic expansion of the Schwartz kernel of certain spectral projection of semi-classical Toeplitz operators on strictly pseudoconvex, compact and embeddable CR manifolds. Such asymptotic expansion leads to many new applications in CR geometry, and the aim of the thesis is to generalize this result. For this propose, we consider any compact CR manifold $(X,T^{1,0}X)$ whose Levi form is non-degenerate and has a constant signature $(n_-,n_+)$. We introduce a specific type of operators called Levi-elliptic Toeplitz operators for lower energy forms. For any $\lambda>0$, these operators, represented as $ T_{P,\lambda}^{(q)}:=\Pi_\lambda^{(q)}\circ P\circ \Pi_\lambda^{(q)}, $ is the pre- and post- composition of certain classical pseudodifferential operators $P$ of order one and the orthogonal projection $\Pi_\lambda^{(q)}$. We assume that $P$ maps the space of $(0,q)$-forms on $X$ to itself and to be formally self-adjoint. When $q=n_-$, we assume that the matrix-valued principal symbol of $P$ satisfy some relaxed elliptic conditions corresponding to the pair $(n_-,n_+)$. The orthogonal projection $\Pi_\lambda^{(q)}$ is an analogue of the Szeg\H{o} projection and defined by $\mathds 1_{[0,\lambda]}(\Box_b^{(q)})$, which is the spectral projection to lower energy forms associated with the Kohn Laplacian at degree $(0,q)$. For any smooth function $\chi:\R\to\C$ compactly supported on $\R\setminus\{0\}$ and $q=n_-$, our primary focus is the spectral operator $\chi(k^{-1}T_{P,\lambda}^{(q)})$ defined by the Helffer--Sj\"ostrand formula in spectral theory. Starting from the microlocal analysis of Hsiao--Marinescu and Galasso--Hsiao, as $k\to+\infty$ we develop a semi-classical microlocal analysis of $\chi(k^{-1}T_{P,\lambda}^{(q)})$, and our main result describes the full asymptotic expansion of the Schwartz kernel $\chi(k^{-1}T_{P,\lambda}^{(q)})(x,y)$ as the sum of two semi-classical oscillatory integrals of complex phases. The canonical relation of the two oscillatory integrals corresponds to $\Sigma^-$ and $\Sigma^+$, respectively, where $\Sigma^\mp$ are the only two connected components of the characteristic cone of $\Box_b^{(q)}$. The last part of the thesis is the joint work of C.-Y.~Hsiao and the author about second coefficient for the expansion of Boutet de Monvel and Sj\"ostrand. Our result and method should be helpful in the future for the calculation of $A_1^\mp(x)$ in the semi-classical expansion of $\chi(k^{-1}T_{P,\lambda}^{(q)})(x,x)$ when $q=n_-=0$. English
Creators:	Creators Email ORCID ORCID Put Code Shen, Wei-Chuan wshen@uni-koeln.de orcid.org/0000-0002-9468-3601 UNSPECIFIED
URN:	urn:nbn:de:hbz:38-735599
Date:	2024
Place of Publication:	Köln
Language:	English
Faculty:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Divisions:	Faculty of Mathematics and Natural Sciences > Department of Mathematics and Computer Science > Mathematical Institute
Subjects:	Mathematics
Uncontrolled Keywords:	Keywords Language Fourier integral operator with complex phase, compact and Levi non-degenerate CR manifold, Szeg\H{o} kernel for lower energy forms, Toeplitz operator, Levi-ellipticity, spectral theory, semi-classical analysis English
Date of oral exam:	10 July 2024
Referee:	Name Academic Title Marinescu, George Prof. Dr. Vu, Duc Viet Prof. Dr.
Funders:	Universität zu Köln
Projects:	SFB/TRR 191 “Symplectic Structures in Geometry, Algebra and Dynamics” (Project-ID 281071066-TRR 191)
Refereed:	Yes
URI:	http://kups.ub.uni-koeln.de/id/eprint/73559